【題目】已知拋物線y2=﹣x與直線y=k(x+1)相交于A、B兩點.
(1)求證:OA⊥OB;
(2)當△OAB的面積等于 時,求k的值.
【答案】
(1)證明:由方程y2=﹣x,y=k(x+1)
消去x后,整理得
ky2+y﹣k=0.
設A(x1,y1)、B(x2,y2),由韋達定理y1y2=﹣1.
∵A、B在拋物線y2=﹣x上,
∴y12=﹣x1,y22=﹣x2,y12y22=x1x2.
∵kOAkOB= = = =﹣1,
∴OA⊥OB.
(2)解:設直線與x軸交于N,又顯然k≠0,
∴令y=0,則x=﹣1,即N(﹣1,0).
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN
= |ON||y1|+ |ON||y2|
= |ON||y1﹣y2|,
∴S△OAB= 1
= .
∵S△OAB= ,
∴ = .解得k=±
【解析】(1)證明OA⊥OB可有兩種思路:①證kOAkOB=﹣1;②取AB中點M,證|OM|= |AB|.(2)求k的值,關鍵是利用面積建立關于k的方程,求△AOB的面積也有兩種思路:①利用S△OAB= |AB|h(h為O到AB的距離);②設A(x1 , y1)、B(x2 , y2),直線和x軸交點為N,利用S△OAB= |ON||y1﹣y2|.
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【題目】本公司計劃2018年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告,廣告總費用不超過9萬元,甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為元/分鐘和200元/分鐘,規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告,能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間,才能使公司的收益最大,最大收益是多少萬元?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(cosx+sinx,1), =(cosx+sinx,﹣1)函數g(x)=4 .
(1)求函數g(x)在[ , ]上的值域;
(2)若x∈[0,2016π],求滿足g(x)=0的實數x的個數;
(3)求證:對任意λ>0,都存在μ>0,使g(x)+x﹣4<0對x∈(﹣∞,λμ)恒成立.
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【題目】已知橢圓 +y2=1(m>1)和雙曲線 ﹣y2=1(n>0)有相同的焦點F1 , F2 , P是它們的一個交點,則△F1PF2的形狀是( )
A.銳角三角形
B.直角三角形
C.鈍角三角形
D.隨m,n的變化而變化
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【題目】2015年春,某地干旱少雨,農作物受災嚴重,為了使今后保證農田灌溉,當地政府決定建一橫斷面為等腰梯形的水渠(水渠的橫斷面如圖所示),為減少水的流失量,必須減少水與渠壁的接觸面,若水渠橫斷面的面積設計為定值S,渠深為h,則水渠壁的傾斜角α(0<α< )為多大時,水渠中水的流失量最。
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【題目】直三棱柱A1B1C1﹣ABC,∠BCA=90°,點D1 , F1分別是A1B1 , A1C1的中點,BC=CA=CC1 , 則BD1與AF1所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
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