已知向量a=(sinωx，cosωx)，b=(cosωx，
3
cosωx)（ω＞0），函數(shù)f(x)=
a
•
b
-
3
2
的最小正周期為π．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（II）如果△ABC的三邊a、b、c所對的角分別為A、B、C，且滿足b2+c2=a2+
3
bc，求f（A）的值．
分析：（I）利用向量的數(shù)量積公式、二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)．利用f（x）的最小正周期為π，可求ω的值，從而可得函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)f（x）的增區(qū)間；
（II）由b2+c2=a2+
3
bc，及cosA=
b2+c2-a2
2bc
，可求得A=
π
6
，進而可求f（A）的值．
解答：解：（I）f(x)=
a
•
b
-
3
2
=sinωxcosωx+
3
cos2ωx-
3
2
=
1
2
sin2ωx+
3
2
cos2ωx
=sin(2ωx+
π
3
)…（3分）
∵f（x）的最小正周期為π，且ω＞0．
∴
2π
2ω
=π，解得ω=1，…（4分）
∴f(x)=sin(2x+
π
3
)．
由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
≤
π
2
+2kπ，k∈Z…（5分）
得f（x）的增區(qū)間為[-
5
12
π+kπ，
π
12
+kπ](k∈Z)…（6分）
（II）由b2+c2=a2+
3
bc，∴b2+c2-a2=
3
bc，
又由cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
3
bc
2bc
=
3
2
…（8分）
∴在△ABC中，A=
π
6
…（9分）
∴f(A)=sin(2×
π
6
+
π
3
)=sin
2π
3
=
3
2
…（12分）
點評：本題考查三角函數(shù)式的化簡，考查數(shù)量積公式的運用，考查余弦定理的運用，解題的關鍵是三角函數(shù)式的化簡．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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