在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示)．若R、R′分別在線段0F、CF上，且==.

(Ⅰ)求證：直線ER與GR′的交點P在橢圓：+=1上；

(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點，且直線GM與直線GN的斜率之積為，求證：直線MN過定點；并求△GMN面積的最大值．

 

【答案】

（1）根據(jù)題意，先求解直線ER與GR′的方程，進而聯(lián)立方程組得到其交點P，然后證明點與橢圓的位置關(guān)系。

（2）當(dāng)時，

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）∵，∴，              1分

又  則直線的方程為        ①      2分

又 則直線的方程為           ②

由①②得

∵

∴直線與的交點在橢圓上              4分

（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)

不妨取 ∴ ,不合題意    5分

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè) 

聯(lián)立方程 得

則

      7分

又

即

將代入上式得

解得或（舍）

∴直線過定點                      10分

∴，點到直線的距離為

∴

由及知：，令 即

∴ 當(dāng)且僅當(dāng)時， 13分

考點：直線于橢圓的位置關(guān)系

點評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)直線與橢圓的方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理來得到求解，屬于中檔題。主要是對于運算能力的考查。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，點E是AD的中點，將△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′-EC-B是直二面角．
（1）證明：BE⊥C D′；
（2）求二面角D′-BC-E的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在矩形ABCD中，E是CD的中點，
AB
=
a
，
AD
=
b
，用
a
、
b
表示
BE
為
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，在其中任取一點P，使?jié)M足∠APB＞90°，則P點出現(xiàn)的概率為
5π
56
5π
56
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為BC的中點，F(xiàn)在邊CD上，
AB
•
AF
=
2
，則
AE
•
BF
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時圓上一點P的位置在（0，0），圓在x軸上沿正向滾動．當(dāng)圓滾動到圓心位于（2，1）時，
OP
的坐標(biāo)為
 
．
（2）在矩形ABCD中，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足
|
BM
|
|
BC
|
=
|
CN
|
|
CD
|
，則
AM
•
AN
的取值范圍是
 
．

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