定義“矩陣”的一種運算
ab
cd
•
x
y
=
ax+by
cx+dy
，該運算的意義為點（x，y）在矩陣的變換下成點
ab
cd
．設(shè)矩陣A=
1
3
3
-1

（1）已知點P在矩陣A的變換后得到的點Q的坐標為(
3
，2)，試求點P的坐標；
（2）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經(jīng)矩陣A變換后得到的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這樣的直線；若不存在，則說明理由．
分析：（1）設(shè)P（x，y），由題意，得出關(guān)于x，y的方程，解之即得P點的坐標；
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)直線方程為：y=kx+b（k≠0），該直線上的任一點M（x，y），經(jīng)變換后得到的點N（x+
3
y，
3
x-y）仍在該直線上，再結(jié)合求方程的解即可求得k，b值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y）
由題意，有
x+
3
y=
3
3
x-y=2
解得
x=
3
4
3
y=
1
4
  
，
即P點的坐標為(
3
4
3
，
1
4
)．
（2）假設(shè)存在這樣的直線，因為平行坐標軸的直線顯然不滿足條件，
所以設(shè)直線方程為：y=kx+b（k≠0）
因為該直線上的任一點M（x，y），經(jīng)變換后得到的點N（x+
3
y，
3
x-y）仍在該直線上
所以
3
x-y=k(x+
3
y)+b
即(
3
-k)x-(1+
3
k)y-b=0，其中y=kx+b（k≠0）
代入得(
3
k2+2k-
3
)x+(2+
3
k)b=0對任意的x∈R恒成立
3
k2+2k-
3
=0
(2+
3
k)b=0

解之得
k=
3
3
，-
3
b=0

故直線方程為y=
3
3
x或y=-
3
x．
點評：此題主要考查矩陣變換的問題，其中涉及到矩陣的求法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

把實數(shù)a，b，c，d排成如
ab
cd
的形式，稱之為二行二列矩陣，定義矩陣的一種運算
ab
cd
•
x
y
=
ax+by
cx+dy
，該運算的幾何意義為平面上的點（x，y）在矩陣
ab
cd
的作用下變換成點（ax+by，cx+dy），則點（2，3）在矩陣
01
10
的作用下變換成點
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

形如
ab
cd
的式子叫做二行二列矩陣，定義矩陣的一種運算
ab
cd
 •
x
y
=
ax+bx
cx+dy
．該運算的幾何意義為平面上的點（x，y）在矩陣
ab
cd
的作用下變換成點（ax+by，cx+dy）．
（1）設(shè)點M（-2，1）在
01
10
的作用下變換成點M′，求點M′的坐標；
（2）設(shè)數(shù)列{an} 的前n項和為Sn ，且對任意正整數(shù)n，點A（Sn，n）在
01
10
的作用下變換成的點A′在函數(shù)f（x）=x2+x的圖象上，求an的表達式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)bn為數(shù)列{1-
1
an
}的前n項的積，是否存在實數(shù)a使得不等式bn
an+1
＜a對一切n∈N*都成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

把實數(shù)a，b，c，d排形成如
ab
cd
的形式，稱之為二行二列矩陣．定義矩陣的一種運算
ab
cd
•
x
y
=
ax+by
cx+dy
，該運算的幾何意義為平面上的點（x，y）在矩陣
ab
cd
的作用下變換成點（ax+by，cx+dy），則點（2，3）在矩陣
01
10
的作用下變換成點
 
，又若曲線x2+4xy+2y2=1在矩陣
1a
b1
的作用下變換成曲線x2-2y2=1，則a+b的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

把實數(shù)a，b，c，d排成形如
ab
cd
的形式，稱之為二行二列矩陣，定義矩陣的一種運算
ab
cd
•
x
y
=
ax+by
cx+dy
，該運算的幾何意義為平面上的點（x，y）在矩陣
ab
cd
的作用下變換成點（ax+by，cx+dy），則若曲線x+y=1在矩陣
1a
b1
的作用下變換成曲線2x-y=1，則a+b的值為
 
．

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