Question

（2012•浙江）如圖，在直角坐標系xOy中，點P（1，

1

2

）到拋物線C：y²=2px（P＞0）的準線的距離為

5

4

．點M（t，1）是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB被直線OM平分．
（1）求p，t的值．
（2）求△ABP面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）通過點P（1，

1

2

）到拋物線C：y²=2px（P＞0）的準線的距離為

5

4

．列出方程，求出p，t的值即可．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為Q（m，m），設直線AB的斜率為k，（k≠0），利用

y12=x1 y22=x2

推出AB的方程y-m=

1

2m

(x-m)．利用弦長公式求出|AB|，設點P到直線AB的距離為d，利用點到直線的距離公式求出d，設△ABP的面積為S，求出S=

1

2

|AB|•d=|1-2（m-m²）|•

m-m2

．利用函數的導數求出△ABP面積的最大值．

解答：解：（1）由題意可知

2pt=1 1+ p 2 = 5 4

得，

p= 1 2 t=1

．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為Q（m，m），
由題意可知，設直線AB的斜率為k，（k≠0），
由

y12=x1 y22=x2

得，（y₁-y₂）（y₁+y₂）=x₁-x₂，
故k•2m=1，
所以直線AB方程為y-m=

1

2m

(x-m)．
即△=4m-4m²＞0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=2m²-m．
從而|AB|=

1+ 1 k2

•|y1-y2|=

1+4m2

•

4m-4m2

，
設點P到直線AB的距離為d，則
d=

|1-2m+2m2|

1+4m2

，
設△ABP的面積為S，則
S=

1

2

|AB|•d=|1-2（m-m²）|•

m-m2

．
由△=

m-m2

＞0，得0＜m＜1，
令u=

m-m2

，0＜u＜

1

2

，則S=u（1-2u²），0＜u＜

1

2

，
則S′（u）=1-6u²，S′（u）=0，得u=

6

6

∈(0，

1

2

)，
所以S_最大值=S（

6

6

）=

6

9

．
故△ABP面積的最大值為

6

9

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，拋物線的簡單性質，函數與導數的應用，函數的最大值的求法，考查分析問題解決問題的能力．