Question

觀察下列各式：
①cos

π

3

=

1

2

；
②cos

π

5

cos

2π

5

=

1

4

；
③cos

π

9

cos

2π

9

cos

4π

9

=

1

8

；
④cos

π

17

cos

2π

17

cos

4π

17

cos

8π

17

=

1

16

；
歸納推出一般結(jié)論為

cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

cos

4π

2n+1

…cos

2n-1π

2n+1

=

1

2n

（n∈N^*）

．

Answer 1

分析：由已知中的①至④，我們分析等式兩邊式子中項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)的變化規(guī)律，歸納推理后可得結(jié)果．

解答：解：由已知中：
①cos

π

3

=

1

2

；
②cos

π

5

cos

2π

5

=

1

4

；
③cos

π

9

cos

2π

9

cos

4π

9

=

1

8

；
④cos

π

17

cos

2π

17

cos

4π

17

cos

8π

17

=

1

16

；
…
左邊都有n項(xiàng)余弦相乘，且各項(xiàng)分母都滿足2ⁿ+1，分子是一個(gè)以π為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列

1

2n

右邊都是

1

2n

的形式，由此可歸納推理出一般結(jié)論為：cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

cos

4π

2n+1

…cos

2n-1π

2n+1

=

1

2n

（n∈N^*）
故答案為：cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

cos

4π

2n+1

…cos

2n-1π

2n+1

=

1

2n

（n∈N^*）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，其中從已知中的①至④，分析等式兩邊式子中項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)的變化規(guī)律，是解答的關(guān)鍵．