已知A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上兩個不同的點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，且|FA|+|FB|=
18
5
．
（1）求線段AB的中點M的橫坐標；
（2）設A、B兩點關于直線y=kx+m對稱，求k的取值范圍．
分析：（1）根據(jù)已知中的橢圓方程可求出橢圓的離心率，進而根據(jù)橢圓的焦半徑公式，可求出線段AB的中點M的橫坐標；
（2）將A，B兩點坐標代入橢圓方程，利用點差法，結合M點在橢圓內部，可求出k的取值范圍
解答：解：（1）橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
a=5，b=3，則c=4
∴橢圓的離心率e=
4
5

∵A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上兩個不同的點，
F是橢圓的右焦點，|FA|+|FB|=
18
5

∴（5-
4
5
x1）+（5-
4
5
x2）=
18
5

即x1+x2=8
故線段AB的中點M的橫坐標為4
（2）∵A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上兩個不同的點，
∴
x12
25
+
y12
9
=1
x22
25
+
y22
9
=1

兩式相減得
1
25
（x1+x2）（x1-x2）+
1
9
（y1+y2）（y1-y2）=0
由（1）得
8
25
（x1-x2）+2•
yM
9
（y1-y2）=0
①當x1≠x2時，kAB=
y1-y2
x1-x2
=
-
8
25
2yM 
9
=-
36
25yM

∵A、B兩點關于直線y=kx+m對稱，
∴kAB=-
1
k

∴yM=
36
25
k
∵M點橢圓內部，
∴
16
25
+
(
36
25
k)2
9
＜1
解得-
5
4
＜k＜
5
4

②當x1=x2時，AB與x軸垂直，此時k=0
綜上所述，k的取值范圍為（-
5
4
，
5
4
）
點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合應用，雙曲線的簡單性質，聯(lián)立方程，設而不求，韋達定理，是解答此類問題的三架馬車．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx-
12
ax2+bx（a＞0）且f′（1）=0，
（1）試用含a的式子表示b，并求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）（0＜x1＜x2）為函數(shù)f（x）圖象上不同兩點，G（x0，y0）為AB的中點，記AB兩點連線斜率為K，證明：f′（x0）≠K．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是拋物線y=2x2上兩個不同點，若x1x2=-
12
，且A、B兩點關于直線y=x+m對稱，試求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
2x
1-2x
，x≠
1
2
-1，x=
1
2
的圖象上的任意兩點，點M在直線x=
1
2
上，且
AM
=
MB
．
（1）求x1+x2的值及y1+y2的值；
（2）已知S1=0，當n≥2時，Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n-1
n
)，設an=2Sn，Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若存在正整數(shù)c，m，使得不等式
Tm-c
Tm+1-c
＜
1
2
成立，求c和m的值．
（3）在（2）的條件下，設bn=31-Sn，求所有可能的乘積bi•bj（1≤i≤j≤n）的和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=loga(ax-1)（a＞0，且a≠1）
（1）求此函數(shù)的定義域；
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）為函數(shù)y=loga(ax-1)圖象上任意不同的兩點，若a＞1，求證：直線AB的斜率大于0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•樂山一模）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f（x）=
2x
1-2x
，x≠
1
2
-1，x=
1
2
的圖象上的兩點（可以重合），點M在直線x=
1
2
上，且
AM
=
MB
．則y1+y2的值為
-2
-2
．

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