【題目】函數(shù)f(x)=ex(x﹣aex) 恰有兩個極值點x1 , x2(x1<x2),則a的取值范圍是 .
【答案】(0, )
【解析】解:∵函數(shù)f(x)=ex(x﹣aex),求導(dǎo),f′(x)=(x+1﹣2aex)ex,
由于函數(shù)f(x)的兩個極值點為x1,x2,
即x1,x2是方程f′(x)=0的兩不等實根,
即方程x+1﹣2aex=0,且a≠0, =ex;
設(shè)y1= (a≠0),y2=ex,
在同一坐標系內(nèi)畫出這兩個函數(shù)的圖象,
如圖所示:
要使這兩個函數(shù)有2個不同的交點,應(yīng)滿足 ,
解得:0<a< ,
∴a的取值范圍是(0, ),
所以答案是:(0, ).
【考點精析】掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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【題目】在直角坐標系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為 ,(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為 ,(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點為P,當(dāng)k變化時,P的軌跡為曲線C.
(1)寫出C的普通方程;
(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設(shè)l3:ρ(cosθ+sinθ)﹣ =0,M為l3與C的交點,求M的極徑.
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【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N分別是AD,BE的中點,將三角形ADE沿AE折起,則下列說法正確的是________(填序號).
①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi)),都有MN∥平面DEC;②不論D折至何位置,都有MN⊥AE;③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi)),都有MN∥AB;④在折起過程中,一定存在某個位置,使EC⊥AD.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= x2﹣alnx(a∈R)
(1)若函數(shù)f(x)在x=2處的切線方程為y=x+b,求a,b的值;
(2)討論方程f(x)=0解的個數(shù),并說明理由.
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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.
(1)證明MN∥平面PAB;
(2)求四面體N-BCM的體積.
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【題目】定義:如果函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a,b]上存在x0(a<x0<b),滿足f(x0)= ,則稱函數(shù)y=f(x)是[a,b]上的“平均值函數(shù)”,x0是它的一個均值點.例如y=|x|是[﹣2,2]上的平均值函數(shù),0就是它的均值點.若函數(shù)f(x)=x2﹣mx﹣1是[﹣1,1]上的“平均值函數(shù)”,則實數(shù)m的取值范圍是 .
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【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,側(cè)面SAB為等邊三角形.AB=BC=2,CD=SD=1.
(1)證明:SD⊥平面SAB
(2)求AB與平面SBC所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在區(qū)間[2,4]上的最大值為9,最小值為1,記f(x)=g(|x|)。
(1)求實數(shù)a,b的值;
(2)若不等式f(2k)>1成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)定義在[p,q]上的函數(shù)(x),設(shè)p=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=q,x1,x2,…,xn-l將區(qū)間[p,q]任意劃分成n個小區(qū)間,如果存在一個常數(shù)M>0,使得和式恒成立,則稱函數(shù)(x)為在[p,q]上的有界變差函數(shù)。試判斷函數(shù)f(x)是否為在[0,4]上的有界變差函數(shù)?若是,求M的最小值;若不是,請說明理由。
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【題目】某市居民自來水收費標準如下:每戶每月用水不超過4噸時,每噸為1.80元,當(dāng)用水超過4噸時,超過部分每噸3.00元.某月甲、乙兩戶共交水費y元,已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為5x,3x噸. (Ⅰ) 若x=1,求該月甲、乙兩戶的水費;
(Ⅱ) 求y關(guān)于x的函數(shù);
(Ⅲ) 若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元,分別求出甲、乙兩戶該月的用水量.
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