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【題目】如圖,設橢圓C: (a>b>0),動直線l與橢圓C只有一個公共點P,且點P在第一象限.
(Ⅰ)已知直線l的斜率為k,用a,b,k表示點P的坐標;
(Ⅱ)若過原點O的直線l1與l垂直,證明:點P到直線l1的距離的最大值為a﹣b.

【答案】解:(Ⅰ)設直線l的方程為y=kx+m(k<0),由 ,消去y得
(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0.
由于直線l與橢圓C只有一個公共點P,故△=0,即b2﹣m2+a2k2=0,
此時點P的橫坐標為﹣ ,代入y=kx+m得
點P的縱坐標為﹣k +m= ,
∴點P的坐標為(﹣ , ),
又點P在第一象限,故m>0,
故m= ,
故點P的坐標為P( , ).
(Ⅱ)由于直線l1過原點O且與直線l垂直,故直線l1的方程為x+ky=0,所以點P到直線l1的距離
d= ,
整理得:d= ,
因為a2k2+ ≥2ab,所以 =a﹣b,當且僅當k2= 時等號成立.
所以,點P到直線l1的距離的最大值為a﹣b.

【解析】(Ⅰ)設直線l的方程為y=kx+m(k<0),由 ,消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0,利用△=0,可求得在第一象限中點P的坐標;(Ⅱ)由于直線l1過原點O且與直線l垂直,設直線l1的方程為x+ky=0,利用點到直線間的距離公式,可求得點P到直線l1的距離d= ,整理即可證得點P到直線l1的距離的最大值為a﹣b..

練習冊系列答案
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