Question

已知函數f(x)=2lnx+

1-x2

x

（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）解不等式2|lnx|≤(1+

1

x

)•|x-1|．
（3）若不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1對任意n∈N^*都成立，求a的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用導數即可求出其單調區(qū)間；
（2）通過對x討論，再利用（1）的結論即可；
（3）通過分離參數，通過換元求導，再利用（1）的結論即可得出．

解答：解：（1）f(x)=2lnx+

1-x2

x

，定義域{x|x＞0}．
∵f′(x)=

2

x

+

-2x×x-(1-x2)

x2

=-

(x-1)2

x2

≤0，
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數．
（2）對2|lnx|≤(1+

1

x

)•|x-1|當x≥1時，原不等式變?yōu)?span id="dlkwo9p" class="MathJye">2lnx≤(1+

1

x

)•(x-1)=

x2-1

x

…①
由（1）結論，x≥1時，f（x）≤f（1）=0，2lnx+

1-x2

x

≤0即①成立
當0＜x≤1時，原不等式變?yōu)?span id="06v3f4j" class="MathJye">-2lnx≤(1+

1

x

)•(1-x)，
即2lnx≥

x2-1

x

②
由（1）結論0＜x≤1時，f（x）≥f（1）=0，2lnx+

1-x2

x

≥0即②成立
綜上得，所求不等式的解集是{x|x＞0}
（3）結論：a的最大值為

1

ln2

-1．
證明：∵n∈N^*，
∴ln(1+

1

n

)＞0，
∵(n+a)ln(1+

1

n

)≤1，
∴a≤

1

ln(1+ 1 n )

-n，取x=

1

n

，則x∈（0，1]，
∴a≤

1

ln(1+x)

-

1

x

，
設g(x)=

1

ln(1+x)

-

1

x

，
則g′(x)=

ln2(x+1)- x2 x+1

x2ln2(1+x)

≤0，∴g（x）在x∈（0，1]上單調遞減，
∴當x=1時，g最小=g(1)=

1

ln2

-1．
∴a的最大值為

1

ln2

-1．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、分離參數法和換元法是解題的關鍵．