Question

已知橢圓的長軸為4，且點在該橢圓上．
（I）求橢圓的方程；
（II）過橢圓右焦點的直線l交橢圓于A，B兩點，若以AB為直徑的圓徑的圓經(jīng)過原點，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知可求，a=2，由點在該橢圓上，代入可求b，從而可求橢圓的方程
（II）AB為直徑的圓過原點??x₁x₂+y₁y₂=0，從而考慮設直線方程，聯(lián)立直線于橢圓方程進行求解即可．
解答：解：（I）由題意2a=4，a=2
∵點在該橢圓上，∴  解可得，b²=1
∴所求的橢圓的方程為
（II）由（I）知c²=a²-b²=3∴，橢圓的右焦點為（，0）
因為AB為直徑的圓過原點，所以
若直線的斜率不存在，則直線AB的方程為x=交橢圓于兩點
不合題意
若直線的斜率存在，設斜率為k，則直線AB的方程為
由可得
由直線AB過橢圓的右焦點可知△＞0
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
則
又==
由==0可得
所以直線l的方程為
點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程及直線于橢圓位置關系的應用，常見的解題思想是聯(lián)立直線方程與曲線方程，通過方程的根與系數(shù)的關系進行求解．