Question

已知x=3是函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a-3）e^3-x的極值點．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間（用a表示）；
（2）設(shè)a＞0，g（x）=（a²+8）e^x，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，利用x=3是函數(shù)f（x）的極值點，可得-（a+1）≠3即a≠-4，進而分a＞-4與a＜-4，分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性；
（2）分別求出g_min（x）與f_max（x），再將問題等價轉(zhuǎn)化為：若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜3，只要g_min（x）-f_max（x）＜3即可，從而解不等式，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=（2x+a）e^3-x+（x²+ax-2a-3）（-1）e^3-x
=[-x²+（2-a）x+3a+3]e^3-x=-[x²+（a-2）x-3（a+1）]e^3-x
=-（x-3）[x+（a+1）]e^3-x…（3分）
∵x=3是函數(shù)f（x）的極值點
∴-（a+1）≠3即a≠-4
（i）當(dāng)-（a+1）＜3即a＞-4時
當(dāng)x∈（-∞，-a-1]和[3，+∞）時，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（-a-1，3）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．…（5分）
（ii）當(dāng)-（a+1）＞3即a＜-4時
當(dāng)x∈（-∞，3]和[-a-1，+∞）時，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（3，-a-1）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．…（7分）
（2）∵a＞0，∴-（a+1）＜0
∴當(dāng)x∈[0，3]時f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[3，4]時f（x）單調(diào)遞減
∴當(dāng)x∈[0，4]時，f_max（x）=f（3）=a+6…（9分）
∵g（x）=（a²+8）e^x在x∈[0，4]時是增函數(shù)，g_min（x）=g（0）=a²+8…（11分）
又∵a2+8-(a+6)=a2-a+2=(a-

1

2

)2+

7

4

＞0
∴g_min（x）＞f_max（x），∴當(dāng)x∈[0，4]時，g（x）＞f（x）恒成立．
∴若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜3
只要g_min（x）-f_max（x）＜3即可…（14分）
即a2+8-(a+6)＜3⇒a2-a-1＜0⇒

1- 5

2

＜a＜

1+ 5

2

所以a的取值范圍為(0，

1+ 5

2

)．…（15分）

點評：本題以函數(shù)的極值為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時考查學(xué)生分析解決問題的能力．