Question

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積等于常數(shù)（的點(diǎn)的軌跡，連同兩點(diǎn)所成的曲線為C．

（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀；

（II）設(shè),，對(duì)應(yīng)的曲線是，已知?jiǎng)又本�與橢圓交于、兩不同點(diǎn)，且,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，探究 是否為定值，寫(xiě)出解答過(guò)程。

Answer 1

 解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為，

    當(dāng)時(shí)，由條件可得

即，又的坐標(biāo)滿足

故依題意，曲線C的方程為

當(dāng)曲線C的方程為是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；

當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C是圓心在原點(diǎn)的圓；

當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；  ……6分

（Ⅱ）解：：

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，

所以因?yàn)?img width=59 height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2014/01/06/02/2014010602132892905647.files/image221.gif'>在橢圓上，因此       ①

又因?yàn)?sub>所以        ②

由①、②得此時(shí)

   當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為

將其代入，得，

其中即         （*）

又，

所以

因?yàn)辄c(diǎn)O到直線的距離為所以

又整理得且符合（*）式，

此時(shí)

綜上所述結(jié)論成立                                      ……13分

（Ⅱ）解法2：

令P，Q

化簡(jiǎn)得

又P，Q在

則

代入得，