已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,點(diǎn)(n,2an+1-an)在直線y=x上,n∈N*
(1)令bn=an+1-an-1,證明:{bn}為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)Sn、Tn分別為數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{
SnTn
n
}
為等差數(shù)列?若存在,求出λ的值,并給出證明;若不存在,說(shuō)明理由.
(1)證明:∵點(diǎn)(n,2an+1-an)在直線y=x上,∴2an+1-an=n
∵bn=an+1-an-1,∴2bn+1=an+1-an-1=bn,
a1=
1
2
,2an+1-an=n
∴a2=
3
4
,
∴b1=a2-a1-1=-
3
4
≠0
∴{bn}為等比數(shù)列;
(2)an+1-an=1+bn=1-
3
4
×(
1
2
)
n-1

疊加可得:an=(an-an-1)+(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=n-2+3×(
1
2
)
n

(3)存在λ=2,使數(shù)列{
SnTn
n
}
是等差數(shù)列.
Sn=
n(n-3)
2
+3[1-(
1
2
)
n
],Tn=
3
2
[(
1
2
)
n
-1]

S1T1
1
=
1
2
-
3
4
λ
,
S2T2
2
=
10-9λ
16
,
S3T3
3
=
42-21λ
48

數(shù)列{
SnTn
n
}
是等差數(shù)列
∴2×
10-9λ
16
=
1
2
-
3
4
λ
+
42-21λ
48
,∴λ=2
當(dāng)λ=2時(shí),
SnTn
n
=
n-3
2
,數(shù)列是等差數(shù)列
∴當(dāng)且僅當(dāng)λ=2時(shí),數(shù)列是等差數(shù)列.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn
為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且Sn
1
an
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( 。
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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