Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，且，.

（1）證明：面；

（2）在上是否存在點(diǎn)，使平面，若存在，請計(jì)算的值，若不存在，請說明理由；

（3）若，求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）存在，（3）

【解析】

（1）可通過題干中的線段關(guān)系求出對應(yīng)的各底邊弦長，得到，通過線面垂直的判定定理結(jié)合，可證，又由三邊關(guān)系可得，進(jìn)而得證；

（2）可連接，交于點(diǎn)，連接，利用相似三角形關(guān)系可確定點(diǎn)應(yīng)為上靠近的三等分點(diǎn)，進(jìn)而求證；

（3）在線段上取點(diǎn)，使，則，作于，連接通過三垂線法得證，再結(jié)合等體積法，即可求解到平面的距離.

（1）∵在底面中，，，且，

，，，

又，，平面，平面，

平面，又平面，，

，，.

又，，平面，平面，

平面.

（2）存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，使平面，

連接，交于點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，所以，所以在中，要使，則即可，所以，在上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)平面

（3）在線段上取點(diǎn)，使，則，

又由（1）得平而，平面，

又平面，，

作于，連接

又，平面，平面，

平面，

又平面，

，

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由得.

∴點(diǎn)到平面的距離.