Question

（本小題滿(mǎn)分14分）
如圖，四棱錐P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，點(diǎn)E在棱PA上，且PE=2EA。
（1）求直線(xiàn)PC與平面PAD所成角的余弦值；（6分）
（2）求證：PC//平面EBD；（4分）
（3）求二面角A—BE—D的余弦值.（4分）

Answer 1

（1）直線(xiàn)PC與平面PAD所成角的余弦值. （2）見(jiàn)解析；（3）

試題分析：（1）一點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA為x軸，以BC為y軸，以BP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)至B-xyz，根據(jù)條件求出CD,PD，然后求出這兩個(gè)向量的所成角即為異面直線(xiàn)CD與PA所成的角；
（2）欲證PC∥平面EBD，根據(jù)直線(xiàn)與平面平行的判定定理可知只需證PC與平面EBD內(nèi)一直線(xiàn)平行連接AC交BD于G，連接EG，根據(jù)比例關(guān)系可知PC∥EG，而EG?平面EBD，PC?平面EBD，滿(mǎn)足定理所需條件；
（3）先求平面EBD的法向量與平面ABE的法向量，然后利用向量的夾角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．
解：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系……1分


∴………………2分
設(shè)平面PAD法向量為，
則，所以 …3分
設(shè)直線(xiàn)PC與面PAD所成角為，…4分
…………………5分
所以，直線(xiàn)PC與平面PAD所成角的余弦值.……………………6分
（2）連結(jié)AC交BD于G，連結(jié)EG，
，∴ ……………8分
…………………………9分
∴…………………………10分
（3）設(shè)平面，由
考點(diǎn)：
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是熟練的運(yùn)用線(xiàn)面平行的判定定理和二面角概念的理解和求解的運(yùn)用。