Question

某潛水員身背氧氣瓶潛入湖底進行考察，氧氣瓶形狀如圖，其結(jié)構(gòu)為一個圓柱和一個圓臺的組合（設氧氣瓶中氧氣已充滿，所給尺寸是氧氣瓶的內(nèi)徑尺寸），潛水員在潛入水下a米的過程中，速度為v米/分，每分鐘需氧量與速度平方成正比（當速度為1米/分時，每分鐘需氧量為0.2L）；在湖底工作時，每分鐘需氧量為0.4L；返回水面時，速度也為v米/分，每分鐘需氧量為0.2L，若下潛與上浮時速度不能超過p米/分，試問潛水員在湖底最多能工作多少時間？（氧氣瓶體積計算精確到1L，a、p為常數(shù)，圓臺的體積V=

1

3

πh(r2+rR+R2)，其中h為高，r、R分別為上、下底面半徑．）

Answer 1

分析：氧氣瓶中氧氣的體積V=V_圓柱+V_圓臺=π×10²×50+π×10×

1

3

(4+20+100)≈5413π≈16997(cm3)≈17 L．設潛入水下a米過程中的每分鐘需氧量為Q，則Q=kv²，因當速度為1 m/分時，每分鐘需氧量0.2 L，所以k=0.2，故來回途中需氧量為a×0.2v+a×

0.2

v

，v∈(0，p]，則在湖底的工作時間為

1

0.4

[17-(0.2av+

0.2a

v

)]．由此能夠求出潛水員在湖底最多能工作多少時間．

解答：解：氧氣瓶中氧氣的體積
V=V_圓柱+V_圓臺=π×10²×50+π×10×

1

3

(4+20+100)≈5413π≈16997(cm3)≈17 L．
設潛入水下a米過程中的每分鐘需氧量為Q，則Q=kv²，
因當速度為1 m/分時，每分鐘需氧量0.2 L，所以k=0.2，
故來回途中需氧量為a×0.2v+a×

0.2

v

，v∈(0，p]，
則在湖底的工作時間為

1

0.4

[17-(0.2av+

0.2a

v

)]，
∵0.2av+

0.2

v

≥0.4a，…..（6分）
當且僅當，v=1時取等號．
所以①當p≥1時，

1

0.4

[17-(0.2av+

0.2a

v

)]的最大值是42.5-a．
②當p＜1時，v∈（0，p]，
∵v≤p＜1，vp≤p²＜1，

1

0.4

[17-(0.2av+

0.2a

v

)]-

1

0.4

[17-(0.2ap+

0.2a

p

)]=

a

2

(p-v)(

vp-1

vp

)≤0，
即當v=p時，在湖底的工作時間的最大值為

1

0.4

[17-(0.2ap+

0.2a

p

)]，
因此，當p≥1時，潛水員在湖底最多能工作42.5-a分鐘；
當p＜l時，潛水員在湖底最多能工作

1

0.4

[17-(0.2ap+

0.2a

p

)]分鐘．…（14分）

點評：本題考查函數(shù)模型的選擇和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，恰當?shù)亟�立方程．易錯點是弄不清數(shù)量間的相互關系，導致建立方程出錯．