已知f（x）=x-lnx，g（x）=數(shù)學公式，其中x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）．
（Ⅰ）求f（x）的單調性和極小值；
（Ⅱ）求證：g（x）在（0，e]上單調遞增；
（Ⅲ）求證：f（x）＞g（x）+數(shù)學公式．

（Ⅰ）解：∵f（x）=x-lnx，∴f′（x）=（x＞0），
∴當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調遞減；當1＜x＜e時，f′（x）＞0，此時f（x）單調遞增
∴f（x）的極小值為f（1）=1------（4分）
（Ⅱ）證明：求導數(shù)可得
∴當0＜x＜e時，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，e]上單調遞增------（3分）
（Ⅲ）證明：∵f（x）的極小值為1，即f（x）在（0，e]上的最小值為1，∴f（x）＞0，f（x）min=1
∴------（3分）
∴f（x）＞g（x）+．
分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用導數(shù)的正負，可確定函數(shù)的單調性，從而可求f（x）的極小值；
（Ⅱ）求導數(shù)，利用0＜x＜e時，g'（x）＞0，可得結論；
（Ⅲ）證明即可．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性與極值，考查不等式的證明，確定函數(shù)的最值是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）、g（x）都是定義在R上的函數(shù)，若存在實數(shù)m、n使得h（x）=m•f（x）+n•g（x），則稱h（x）為f（x）、g（x）在R上生成的函數(shù)．若f（x）=2cos2x-1，g（x）=sinx．
（1）判斷函數(shù)y=cosx是否為f（x）、g（x）在R上生成的函數(shù)，并說明理由；
（2）記l（x）為f（x）、g（x）在R上生成的一個函數(shù)，若l(
π6
)=2，且l（x）的最大值為4，求l（x）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=|x+l|+|x-2|，g（x）=|x+l|-|x-a|+a（a∈R）．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知f（x）、g（x）都是定義在R上的函數(shù)，若存在實數(shù)m、n使得h（x）=m•f（x）+n•g（x），則稱h（x）為f（x）、g（x）在R上生成的函數(shù)．若f（x）=2cos2x-1，g（x）=sinx．
（1）判斷函數(shù)y=cosx是否為f（x）、g（x）在R上生成的函數(shù)，并說明理由；
（2）記l（x）為f（x）、g（x）在R上生成的一個函數(shù)，若l(
π
6
)=2，且l（x）的最大值為4，求l（x）．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年浙江省寧波市高三（下）4月月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x3-x2-3x，g（x）=ax2-3x+b，（a，b∈R，且a≠0，b≠0）．滿足f（x）與g（x）的圖象在x=x處有相同的切線l．
（I）若a=，求切線l的方程；
（II）已知m＜x＜n，記切線l的方程為：y=k（x），當x∈（m，n）且x≠x時，總有[f（x）-k（x）]•[g（x）-k（x）]＞0，則稱f（x）與g（x）在區(qū)間（m，n）上“內切”，若f（x）與g（x）在區(qū)間（-3，5）上“內切”，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年浙江省寧波市高三（下）4月月考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x3-x2-3x，g（x）=ax2-3x+b，（a，b∈R，且a≠0，b≠0）．滿足f（x）與g（x）的圖象在x=x處有相同的切線l．
（I）若a=，求切線l的方程；
（II）已知m＜x＜n，記切線l的方程為：y=k（x），當x∈（m，n）且x≠x時，總有[f（x）-k（x）]•[g（x）-k（x）]＞0，則稱f（x）與g（x）在區(qū)間（m，n）上“內切”，若f（x）與g（x）在區(qū)間（-3，5）上“內切”，求實數(shù)a的取值范圍．

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