Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2+lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求證：在區(qū)間（1，+∞）上函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=

2

3

x3圖象的下方；
（Ⅲ）請(qǐng)你構(gòu)造函數(shù)h（x），使函數(shù)F（x）=f（x）+h（x）在定義域（0，+∞）上，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求最值．
（2）先求出函數(shù)G（x）的解析式，然后求導(dǎo)進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后求出函數(shù)在（1，+∞）上的最小值大于0進(jìn)而可得證．
（3）假設(shè)h（x）=-

5

2

x，然后表示出函數(shù)F（x）的解析式后進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，最后再用函數(shù)的單調(diào)性可證明有兩個(gè)極值點(diǎn)．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=x+

1

x

∵x＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為f（e）=

1

2

e2+1，
最小值為f（1）=

1

2

；
（Ⅱ）證明：設(shè)G（x）=g（x）-f（x），
則G（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx，
G′(x)=2x2-x-

1

x

=

2x3-x2-1

x

=

x2(x-1)+x3-1

x

，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，顯然有G′（x）＞0，
∴G（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴G（x）＞G（1）=

1

6

＞0在（1，+∞）上恒成立，
即g（x）＞f（x）在（1，+∞）上恒成立，
∴在區(qū)間（1，+∞）上函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=

2

3

x3圖象的下方．
（Ⅲ）令h（x）=-

5

2

x，則F（x）=

1

2

x2+lnx-

5

2

x（x＞0），
F′(x)=x+

1

x

-

5

2

=

2x2-5x+2

2x

令F′（x）=0，得x=

1

2

，或x=2，令F′（x）＞0得，
0＜x＜

1

2

，或x＞2，令F′（x）＜0得，

1

2

＜x＜2
∴當(dāng)h（x）=-

5

2

x時(shí)，函數(shù)F（x）=f（x）+h（x）在定義域（0，+∞）上，
存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁=

1

2

，x₂=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)、求導(dǎo)運(yùn)算、根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．導(dǎo)數(shù)時(shí)高等數(shù)學(xué)下放到高中的內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)每年必考，要給予重視．