Question

（2012•青島二模）以下正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
①命題“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定是：“不存在x∈R，x²-x-2＜0”；
②函數(shù)f(x)=x

1

3

-(

1

2

)x的零點(diǎn)在區(qū)間(

1

3

，

1

2

)內(nèi)； 
③函數(shù)f（x）=e^-x-e^x的圖象的切線的斜率的最大值是-2；
④線性回歸直線

y

=

b

x+

a

恒過樣本中心(

.

x

，

.

y

)，且至少過一個(gè)樣本點(diǎn)．

A．3

B．1

C．0

D．2

Answer 1

分析：存在x∈R，在其否定中應(yīng)寫為?x∈R，x²-x-2≥0的否定為x²-x-2＜0；由f（

1

3

）和f（

1

2

）的乘積符號(hào)小于0，可知函數(shù)f(x)=x

1

3

-(

1

2

)x的零點(diǎn)在區(qū)間(

1

3

，

1

2

)內(nèi)；命題③先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后借助于不等式求出導(dǎo)函數(shù)的最大值為-2；回歸直線方程的求解過程中，用到a=

.

y

-b

.

x

，說明回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)．

解答：解：命題“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定為“任意的x∈R，x²-x-2＜0”，所以命題①不正確；
對(duì)于函數(shù)f(x)=x

1

3

-(

1

2

)x，因?yàn)?span id="oskkyoo" class="MathJye">f(

1

3

)=(

1

3

)

1

3

-(

1

2

)

1

3

＜0，f(

1

2

)=(

1

2

)

1

3

-(

1

2

)

1

2

＞0，所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間(

1

3

，

1

2

)，所以命題②正確；
函數(shù)f（x）=e^-x-e^x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=-e-x-ex=-(ex+

1

ex

)≤-2，當(dāng)且僅當(dāng)ex=

1

ex

，即e^x=1，x=0時(shí)取等號(hào)，所以命題③正確；
線性回歸直線

y

=

b

x+

a

恒過樣本中心點(diǎn)(

.

x

，

.

y

)，但不一定過樣本點(diǎn)，所以命題④不正確．
綜上正確的為②③，有2個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：判斷命題的真假，看由條件能否推出結(jié)論，若能，則該命題為真命題，否則為假，有時(shí)直接判斷原命題困難時(shí)，可判其逆否命題的真假，因?yàn)橐粋�(gè)命題與其逆否命題共真假．