Question

二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c圖象頂點(diǎn)為C且過(guò)點(diǎn)A（0，2）、B（2，2），又△ABC的面積等于1．
（1）求滿足條件的函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)a＞0，求函數(shù)的極值；
（3）正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n），且a₁=3，設(shè)T_n=a₁a₂a₃…a_n，求T_n．

Answer 1

解：
（1）依題意設(shè)f（x）=ax（x-2）+2，由（h為AB邊上的高）．
∴h=1，f（1）=1或3，∴a=±1
∴f（x）=x²-2x+2或f（x）=-x²+2x+2（或討論a＞0與a＜0）．
或依題意c=2，4a+2b+c=2，∴b=-2a，或3，其它同上

（2）當(dāng)時(shí)a＞0，f（x）=x²-2x+2，∴，
∴g′（x）=x²e^x-ex²=x²（e^x-e），令g′（x）=0，得x=0，或x=1

∴x=0不是極值點(diǎn)，x=1是極值，
∴函數(shù)g（x）的極小值為g（1）=e，極大值不存在．

（3）對(duì)于f（x）=-x²+2x+2，由a_n+1=f（a_n）及a₁=3，得a₂=-1，不符合題意，舍去，
只能f（x）=x²-2x+2，
∴a_n+1=a_n²-2a_n+2，a_n+1-a_n=a_n²-3a_n+2=a_n（a_n-3）+2＞0對(duì)a_n≥3恒成立，
a_n+1＞a_n＞…＞a₁=3
又a_n+1-1=（a_n-1）²，
∴l(xiāng)g（a_n+1-1）=2lg（a_n-1），l個(gè)（a₁-1）=lg2≠0
∴數(shù)列{lg（a_n-1）}首項(xiàng)為lg2，公比為2的等比數(shù)列，
∴l(xiāng)g（a_n-1）=2^n-1lg（a₁-1）
∴a_n=1+2^2n-1
∴a₁a₂a₃…a_n=（1+2）（1+2²） …（1+2^2n-1）
=-（1-2）（1+2）（1+2²）…2^2n-1=2²ⁿ-1

為所求．
或=（1+2）（1+2²） …（1+2^2n-1）=2²ⁿ-1
分析：（1）先假設(shè)出函數(shù)f（x）的解析式，然后根據(jù)三角形的面積公式算出三角形的高求出點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可確定函數(shù)f（x）的解析式．
（2）將函數(shù)f（x）的解析式代入表示出函數(shù)g（x）的解析式，然后對(duì)函數(shù)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出極值點(diǎn)．
（3）先通過(guò)驗(yàn)證數(shù)列前兩項(xiàng)判斷f（x）的解析式只能是f（x）=x²-2x+2，然后找到a_n+1與a_n的關(guān)系式a_n+1-1=（a_n-1）²，兩邊取對(duì)數(shù)后構(gòu)成新的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和函數(shù)單調(diào)性、極值與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系以及等比數(shù)列求和的問(wèn)題．一些數(shù)列并不是等比或等差數(shù)列，在求和時(shí)必須通過(guò)轉(zhuǎn)化變?yōu)榈缺然虻炔钤偾螅?