Question

已知橢圓

x2

3

+

y2

2

=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過(guò)F₁的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過(guò)F₂的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且AC⊥BD，垂足為P
（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，y₀），證明：

x02

3

+

y02

2

＜1；
（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）橢圓的半焦距c=

3-2

=1，由AC⊥BD知點(diǎn)P在以線段F₁F₂為直徑的圓上，故x₀²+y₀²=1，由此可以證出

x02

3

+

y02

2

＜1．
（Ⅱ）設(shè)BD的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程

x2

3

+

y2

2

=1，并化簡(jiǎn)得（3k²+2）x²+6k²x+3k²-6=0．設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由題意知|BD|=

1+k2

•|x1-x2|=

(1+k2)•[(x2+x2)2-4x1x2]

=

4 3 (k2+1)

3k2+2

再求出|AC|=

4 3 ( 1 k2 +1)

3× 1 k2 +2

=

4 3 (k2+1)

2k2+3

，由此可以求出四邊形ABCD的面積的最小值．

解答：證明：（Ⅰ）橢圓的半焦距c=

3-2

=1，
由AC⊥BD知點(diǎn)P在以線段F₁F₂為直徑的圓上，故x₀²+y₀²=1，
所以，

x 2 0

3

+

y 2 0

2

≤

x 2 0

2

+

y 2 0

2

=

1

2

＜1．
（Ⅱ）（ⅰ）當(dāng)BD的斜率k存在且k≠0時(shí)，BD的方程為y=k（x+1），
代入橢圓方程

x2

3

+

y2

2

=1，并化簡(jiǎn)得（3k²+2）x²+6k²x+3k²-6=0．
設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x1+x2=-

6k2

3k2+2

，x1x2=

3k2-6

3k2+2

|BD|=

1+k2

•|x1-x2|=

(1+k2)•[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 3 (k2+1)

3k2+2

；
因?yàn)锳C與BC相交于點(diǎn)P，且AC的斜率為-

1

k

，
所以，|AC|=

4 3 ( 1 k2 +1)

3× 1 k2 +2

=

4 3 (k2+1)

2k2+3

．
四邊形ABCD的面積S=

1

2

•|BD||AC|=

24(k2+1)2

(3k2+2)(2k2+3)

≥

24(k2+1)2

[ (3k2+2)+(2k2+3) 2 ]2

=

96

25

．
當(dāng)k²=1時(shí)，上式取等號(hào)．
（ⅱ）當(dāng)BD的斜率k=0或斜率不存在時(shí)，四邊形ABCD的面積S=4．
綜上，四邊形ABCD的面積的最小值為

96

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)信其應(yīng)用，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)計(jì)算，注意公式的靈活運(yùn)用，避免出現(xiàn)不應(yīng)有的錯(cuò)誤．