【題目】設是由個實數組成的有序數組,滿足下列條件:①,;②;③,
.
(Ⅰ)當時,寫出滿足題設條件的全部;
(Ⅱ)設,其中,求的取值集合;
(Ⅲ)給定正整數,求的個數.
【答案】(1) 詳見解析;(2) ; (3)
【解析】試題分析:
(Ⅰ)利用題中所定義的 可得 共有5個可能的值;
(Ⅱ)利用題意逐一交換元素的位置,討論可得:的取值集合為.
(Ⅲ)利用(II)中的方法結合排列組合相關結論可得給定正整數,求的個數是
試題解析:
(Ⅰ)解:,,,
,,共個.
(Ⅱ)解:首先證明,且.
在③中,令,得.由①得.
由②得.
在③中,令,得,
從而.由①得.
考慮,即,,此時為最大值.
現交換與,使得,此時.
現將逐項前移,直至.在前移過程中,顯然不變,這一過程稱為1次移位.
繼續(xù)交換與,使得,此時.
現將逐項前移,直至.在前移過程中,顯然不變,執(zhí)行第2次移位.
依此類推,每次移位的值依次遞減.經過有限次移位,一定可以調整為,交替出現.
注意到為奇數,所以為最小值.
所以,的取值集合為.
(Ⅲ)解:由①、②可知,有序數組中,有個,個.
顯然,從中選個,其余為的種數共有種.下面我們考慮這樣的數組中有多少個不滿足條件③,記該數為.
如果不滿足條件③,則一定存在最小的正整數,使得
(。; (ⅱ).
將統統改變符號,
這一對應為:,
從而將變?yōu)?/span>個,個組成的有序數組.
反之,任何一個個,個組成的有序數組.由于多于的個數,所以一定存在最小的正整數,使得.
令對應為:,
從而將變?yōu)?/span>個,個組成的有序數組.
因此,就是個,個組成的有序數組的個數.
所以的個數是.
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【題目】以直角坐標系的原點為極點, 軸正半軸為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,已知直線的參數方程為,( 為參數, ),曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的直角坐標方程;
(2)設直線與曲線相交于, 兩點,當變化時,求的最小值.
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【題目】已知為直角坐標系的坐標原點,雙曲線 上有一點(),點在軸上的射影恰好是雙曲線的右焦點,過點作雙曲線兩條漸近線的平行線,與兩條漸近線的交點分別為, ,若平行四邊形的面積為1,則雙曲線的標準方程是( )
A. B. C. D.
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【題目】某服裝銷售公司進行關于消費檔次的調查,根據每人月均服裝消費額將消費檔次分為0-500元;500-1000元;1000-1500元;1500-2000元四個檔次,針對兩類人群各抽取100人的樣本進行統計分析,各檔次人數統計結果如下表所示:
0~ 500元 | 500~ 1000元 | 1000~ 1500元 | 1500~ 2000元 | |
A類 | 20 | 50 | 20 | 10 |
B類 | 50 | 30 | 10 | 10 |
月均服裝消費額不超過1000元的人群視為中低消費人群,超過1000元的視為中高收入人群.
(Ⅰ)從類樣本中任選一人,求此人屬于中低消費人群的概率;
(Ⅱ)從兩類人群中各任選一人,分別記為甲、乙,估計甲的消費檔次不低于乙的消費檔次的概率;
(Ⅲ)以各消費檔次的區(qū)間中點對應的數值為該檔次的人均消費額,估計兩類人群哪類月均服裝消費額的方差較大(直接寫出結果,不必說明理由).
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