Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）

【解析】

（1）將代入函數(shù)解析式，再求得導函數(shù)，并令求得極值點，即可確定的符號，確定單調(diào)區(qū)間.

（2）先求得導函數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，可得在區(qū)間上恒成立，即.構(gòu)造函數(shù)，即可由函數(shù)單調(diào)性求得，解不等式即可求得的取值范圍.

（1）當時，，其定義域為，

則

，

令，解得.

當時，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由題意得，

因為函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，

所以在區(qū)間上恒成立，

即在時恒成立，

即，

即，其中，

令，

易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故.

所以，

即，

解得或；

故的取值范圍為.