Question

下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）在x＞0時(shí)是增函數(shù)，x＜0也是增函數(shù)，所以f（x）是增函數(shù)；
②已知函數(shù)f（x）=log₃x+2，（x∈[1，9]，則函數(shù)y=[f（x）]²+f（x²）的最大值是13；
③y=x²-2|x|-3的遞增區(qū)間為[1，+∞）；
④已知函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x≥3時(shí)，f(x)=(

1

3

)x；當(dāng)x＜3時(shí)，f（x）=f（x+1），則f（1+log₃4）的值是

1

36

．
其中正確命題是

 

．

Answer 1

分析：①此命題是假命題，舉反例說(shuō)明命題錯(cuò)誤；
②由3大于1得到對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，求出y的最大值即可判斷真假；
③討論x的正負(fù)化簡(jiǎn)絕對(duì)值，然后利用二次函數(shù)的圖象找出函數(shù)的增區(qū)間即可判斷此命題的真假；
④根據(jù)函數(shù)的遞推式得到x=1+log₃4小于3時(shí)代入f（x）=f（x+1），得到2+log₃4大于3即可代入f(x)=(

1

3

)x，求出值即可判斷．

解答：解：①舉一個(gè)例子y=-

1

x

，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，但是在x≠0時(shí)，函數(shù)不單調(diào)，所以錯(cuò)誤；
②由x∈[1，9]，又f（x）=log₃x+2，所以y=[f（x）]²+f（x²）=[log₃x+2]²+

log

x2 3

+2，根據(jù)3＞1得到對(duì)數(shù)函數(shù)log₃^x為增函數(shù)，所以分別當(dāng)x=9時(shí)log₃^x和

log

x2 3

達(dá)到最大即y取最大．則y最大=（log₃⁹+2）²+log₃⁸¹+2=22，所以此命題錯(cuò)；
③當(dāng)x＞0時(shí)，y=x²-2x-3，為對(duì)稱軸為直線x=1的開口向上的拋物線，所以[1，+∞）為函數(shù)的增區(qū)間；當(dāng)x＜0時(shí)，y=x²+2x-3，為對(duì)稱軸為直線x=-1的開口向上的拋物線，所以（-1，+∞）為增區(qū)間，綜上，函數(shù)y的增區(qū)間為[1，+∞），正確；
④因?yàn)?+log₃4＜3，所以f（1+log₃4）=f（1+1+log₃4），而2+log₃4＞3，所以f（2+log₃4）=(

1

3

)2+

log

4 3

=(

1

3

)2×

1

4

=

1

36

，命題正確．
所以正確命題的序號(hào)是③④
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合題，要求學(xué)生掌握二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性，靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，會(huì)利用舉反例的方法說(shuō)明一個(gè)命題是假命題．