Question

騰訊公司2005年8月15日推出了下表所示的QQ在線等級(jí)制度，設(shè)等級(jí)為n級(jí)需要的天數(shù)為a_n（n∈N*），設(shè)b_n=a_n+1-a_n．

等級(jí)	等級(jí)圖標(biāo)	需要天數(shù)	等級(jí)	等級(jí)圖標(biāo)	需要天數(shù)
1		5	7		77
2		12	8		96
3		21	12		192
4		32	16		320
5		45	32		1152
6		60	48		2496

（1）求b₁，b₂，b₃，b₄的值，并猜想b_n的表達(dá)式（不必證明）；
（2）利用（1）的結(jié)論求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)cn=

1

an-3n

，求證：c₁+c₂+…+c_n＜1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)b_n=a_n+1-a_n結(jié)合圖表中的數(shù)據(jù)，直接計(jì)算，并結(jié)合等差數(shù)列定義判斷是等差數(shù)列．
（2）由（1）知a_n+1-a_n=2n+5，此種情形可用疊加法求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（3）由（2）能得出cn=

1

an-3n

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，用裂項(xiàng)法求出c₁+c₂+…+c_n，再去證明不等式．

解答：解：（1）由表所給出的數(shù)據(jù)得a₁=5，a₂=12，a₃=21，a₄=32，而b_n=a_n+1-a_n，
于是b₁=7，b₂=9，b₃=11，b₄=13．
猜測(cè){b_n}是以7為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列．
所以b_n=2n+5，n∈N*
（2）由（1）知a_n+1-a_n=2n+5，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…（a₂-a₁）+a₁
=[2×（n-1）+5]+[2×（n-2）+5]+…+（2×1+5）+5
=2×[1+2+…（n-1）]+5n=n²+4n
且當(dāng)n=1時(shí)也符合
∴a_n=n²+4n
（3）cn=

1

an-3n

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

于是c1+c2+…+cn=(

1

1

-

1

2

)+(

1

n

-

1

n+1

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列定義及判斷、疊加法、裂項(xiàng)法求和，需要一定的閱讀能力，收集數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)，計(jì)算能力．