Question

設(shè)函數(shù)h（x）=x|x|+mx+n給出下列四個(gè)命題：
①當(dāng)m=0時(shí)，h（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)n=0時(shí)，y=h（x）為偶函數(shù)；
③函數(shù)y=h（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（0，n）對(duì)稱；
④當(dāng)m≠0，n≠0時(shí)，方程h（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根．
上述命題中，正確命題的序號(hào)是

①③

．

Answer 1

分析：①可根據(jù)h（x）在R上單調(diào)性和值域確定h（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根正確；
②當(dāng)n=0時(shí)，h（x）=x|x|+mx，再由函數(shù)奇偶性的定義可判斷為奇函數(shù)；
③分別表示出h（x）與h（-x），然后相加得到h（x）+h（-x）=2n，即可得到函數(shù)y=h（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（0，n）對(duì)稱，從而判斷正誤；
④令m＞0，n＞0，然后畫出函數(shù)h（x）的圖象可判斷方程h（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根不正確．

解答：解：①當(dāng)m=0時(shí)，h（x）=

x2+n，x≥0 -x2+n，x＜0

，函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增，且值域?yàn)镽，故h（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根正確，即①正確；
②當(dāng)n=0時(shí)，函數(shù)h（x）=x|x|+mx+n=x|x|+mx，所以h（-x）=-x|-x|-mx=-h（x）
∴函數(shù)h（x）為奇函數(shù)，②不正確；
③∵h(yuǎn)（x）=x|x|+mx+n，h（-x）=-x|-x|-mx+n
∴h（x）+h（-x）=x|x|+mx+n+（-x|-x|-mx+n）=2n
∴函數(shù)y=h（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（0，n）對(duì)稱，故③正確；
④當(dāng)m≠0，n≠0時(shí)，例如m=3，n=-2時(shí)，h（x）=

-x2+mx+n，x＜0 x2+mx+n，x≥0

，與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)，④不正確．
故答案為①③

點(diǎn)評(píng)：本土主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查二次函數(shù)的根的個(gè)數(shù)的判定和對(duì)稱性．