設(shè)函數(shù)f（x）=x+
λx
，其中常數(shù)λ＞0．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）若λ=1，判斷f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（3）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，求常數(shù)λ的取值范圍．
分析：（1）函數(shù)的定義域為R，且f（-x）=-x+
λ
-x
=-f（x），可得函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）任取1≤x1＜x2，計算f（x1）-f（x2）=（x1-x2）•
x1•x2-1
x1•x2
＜0，可得 f（x1）＜f（x2），從而得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）任取1≤x1＜x2，根據(jù)f（x1）-f（x2）=（x1-x2）•
(x1•x2-λ)
x1•x2
，且函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)遞增，可得f（x1）-f（x2）＜0，
即  λ＜x1•x2  對1≤x1＜x2 恒成立．再由1＜x1•x2，可得λ的范圍．
解答：解：（1）由于函數(shù)f（x）=x+
λ
x
，其中常數(shù)λ＞0，故函數(shù)的定義域為R，
且f（-x）=-x+
λ
-x
=-f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)． 
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．
證明：任取1≤x1＜x2，∵f（x1）-f（x2）=（x1+
1
x1
）-（x2+
1
x2
）=（x1-x2）+
x2-x1
x1•x2
=（x1-x2）•
x1•x2-1
x1•x2
，
由1≤x1＜x2，可得 x1-x2 ＜0，x1•x2，＞1，∴f（x1）＜f（x2），
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．…（10分）
（3）任取1≤x1＜x2，∵f（x1）-f（x2）=（x1+
λ
x1
）-（x2+
λ
x2
）=）=（x1-x2）+λ•
x2-x1
x1•x2
=（x1-x2）•
(x1•x2-λ)
x1•x2
，
且函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)遞增．∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴x1•x2-λ＞0 對1≤x1＜x2 恒成立，∴λ＜x1•x2，再由1＜x1•x2，可得0＜λ≤1．…（16分）
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為A，若存在非零實數(shù)t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調(diào)函數(shù)．如果定義域為[0，+∞）的函數(shù)f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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