Question

一條長為2cm的線段AB夾在互相垂直的兩個平面α、β之間，AB與α所成角為45°，與β所成角為30°，且α∩β=l，AC⊥l，BD⊥l，C、D是垂足．
求（1）CD的長；
（2）AB與CD所成的角．

Answer 1

分析：（1）連BC、AD，可證AC⊥β，BD⊥α，在Rt△BCD中，可求出CD；
（2）作BE∥l，根據異面直線所成角的定義可證∠ABE就是AB與CD所成的角，連AE，Rt△ABE中求得∠ABE．

解答：解：（1）連BC、AD，可證AC⊥β，BD⊥α，
∴ABC=30°，
∠BAD=45°，Rt△ACB中，BC=AB•cos30°=

3

，
在Rt△ADB中，BD=AB•sin45°=

2

在Rt△BCD中，可求出CD=1cm；
（2）作BE∥l，CE∥BD，BE∩CE=E，
則∠ABE就是AB與CD所成的角，連AE，由三垂線定理可證BE⊥AE，
先求出AE=

3

，再在Rt△ABE中，
求得∠ABE=60°．

點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，以及異面直線所成角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．