Question

已知函數(shù)，其中a為大于零的常數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=1代入，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而判斷出函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分a≥1，0＜a＜，＜a＜1三種情況，分別討論f′（x）的符號(hào)，分析出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．
解答：解：∵函數(shù)，
∴f′（x）=（x＞0）…（2分）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0； …（4分）
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）． …（6分）
（2）當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=0． …（8分）
當(dāng)0＜a＜時(shí)，f′（x）≤0恒成立，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-．  …（10分）
當(dāng)＜a＜1時(shí)，由f′（x）＞0得＜x≤2，由f′（x）＜0得1≤x＜．
∴f（x）在[1，]上單調(diào)遞減，在[，2]上單調(diào)遞增．
∴f（x）_min=f（）=ln+1-．                                             …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)的最值，熟練掌握導(dǎo)數(shù)法在確定函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值時(shí)的方法和步驟是解答的關(guān)鍵．