Question

已知：a∈R，f（x）=（x²-4）（x-a）．
（1）設(shè)x=-1是f（x）的一個極值點．求f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，1]上不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)x=-1是f（x）的一個極值點，則f'（-1）=0即可求出a的值，得到函數(shù)f（x）的解析式，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值；
（2）可先考慮反面情形，求f（x）在[-1，1]是單調(diào)函數(shù)，則f'（x）的符號在（-1，1）上是確定的，轉(zhuǎn)化成f'（x）＜0對于x∈（-1，1）一恒成立，建立不等關(guān)系，求出a的范圍，最后求出補集即可．

解答：解：（1）f（x）=x³-ax²-4x+4a
∴f'（x）=3x²-2ax-4
又f′(-1)=0，∴a=

1

2

（2分）
∴f(x)=(x2-4)(x-

1

2

)，f′(x)=3x2-x-4
由f′(x)=0，得x=-1或x=

4

3

.（4分）
由f(

4

3

)=-

50

27

，f(-1)=

9

2

，f(2)=0，f(-2)=0
得f（x）在[-2，2]上的最大值為

9

2

，最小值為-

52

27

（7分）
（2）由（1）知f'（x）=3x²-2ax-4，
先考慮f（x）在[-1，1]是單調(diào)函數(shù)
則f'（x）的符號在（-1，1）上是確定的
∵f'（0）=-4＜0
∴此時f'（x）＜0對于x∈（-1，1）一恒成立（10分）
∴由二次函數(shù)性質(zhì)，知

f′(-1)=2a-1≤0 f′(1)=-1-2a≤0

得：-

1

2

≤a≤

1

2

.（13分）
∴當(dāng)f（x）在[-1，1]上不是單調(diào)函數(shù)時，a的取值范圍是：a＜-

1

2

或a＞

1

2

.（15分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等有關(guān)基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．