Question

設(shè)橢圓上一點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離為|OP|=r₁，OP的傾斜角為θ，將射線OP繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后與橢圓相交于點(diǎn)Q，若|OQ|=r₂，則r₁r₂的最小值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   2

Answer 1

B
分析：設(shè)直線OP方程為y=kx，點(diǎn)P（x₁，y₁），利用方程組聯(lián)解的方法可得：=，=，所以r₁²=+=．同理可得到Q（x₂，y₂）滿足：r₂²=+=，所以有=，化簡整理，結(jié)合基本不等式，可得r₁r₂≥，當(dāng)且僅當(dāng)r₁=r₂，即k²=1時(shí)，r₁r₂取到最小值．
解答：設(shè)直線OP方程為y=kx，點(diǎn)P（x₁，y₁）
∵點(diǎn)P是橢圓與直線y=kx的交點(diǎn)
∴由可得：==，=k²x²=
∵點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離為|OP|=r₁，
∴r₁²=+==，
∵OQ是由OP繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得，
∴直線OQ方程為y=x，
再設(shè)Q（x₂，y₂），用類似于求r₁²的方法，可得r₂²=+=
∴r₁、r₂滿足=，可得+=
根據(jù)基本不等式，可得+≥2r₁r₂
∴≥2r₁r₂，即r₁r₂≥，當(dāng)且僅當(dāng)r₁=r₂，即k²=1時(shí)，r₁r₂取到最小值
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上兩點(diǎn)P、Q滿足∠POQ=90°，求OP、OQ之積的最小值，著重考查了橢圓的基本概念、直線與橢圓的關(guān)系和基本不等式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．