【題目】(2015·湖南)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形,E,F分別是BC,CC1的中點。
(1)證明:平面AEF⊥平面B1BCC1;
(2)若直線AC1與平面AA1BB1所成的角為45°,求三棱錐F-AEC的體積。
【答案】
(1)
略。
(2)
【解析】(I)如圖,因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以AE⊥BB1 , 又E是正三角形的邊BC的中點,
ABC所以AE⊥BC,因此AE⊥平面B1BCC1 , 而AE平面AEF,
所以平面AEF⊥平面B1BCC1。
(II)設(shè)AB的中點為D,連接A1DCD,因為△ABC是正三角形,所以CD⊥AB,又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以,因此CD⊥平面A1AB1B,于是∠CA1D直線A1C與平面A1ABB1所成的角,由題設(shè)知∠CA1D=45°,
所以A1D=CD=AB=,
在Rt△AA1D中,AA1===,所以FC=AA1=
故三棱錐F-AEC的體積V=SAECxFC=xx=。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E、F分別在A1B1、C1D1上,A1E=D1F=4,過點E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形。
(1)(Ⅰ)在圖中畫出這個正方形(不必說出畫法和理由);
(2)(Ⅱ)求直線AF與平面所成角的正弦值
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【題目】(2015·四川)如圖,A , B , C , D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角.
(1)證明:tan=
(2)若A+C=180°, AB=6, BC=3, CD=4, AD=5, 求tan+tan+tan+tan的值.
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【題目】(2015·陜西)如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BAD=,AB=BC=1,
AD=2, E是AD的中點,0是AC與BE的交點.將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如圖2.
(1)證明:CD⊥平面A1OC
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE, 四棱錐A1-BCDE的體積為36,求a的值.
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【題目】(2015·江蘇) 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,bR).
(1)試討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若b=c-a(實數(shù)c是a與無關(guān)的常數(shù)),當函數(shù)f(x)有三個不同的零點時,a的取值范圍恰好是(-,-3)(1,)(,+),求c的值.
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【題目】(2015·湖北)已知數(shù)列的各項均為正數(shù), , 為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并比較與的大小;
(2)計算 , , , 由此推測計算的公式,并給出證明;
(3)令 , 數(shù)列 , 的前項和分別記為,, 證明:.
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【題目】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列的前n項和等于,解得a1=1,a4=8,或者a1=8,a4=1,但由于是遞增數(shù)列,即a1=1,a4=8,即q3==8,所以q=2.因而數(shù)列的前n項和為 。
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