Question

【題目】設(shè)函數(shù)（，且）是定義域為R的奇函數(shù).

（1）求t的值；

（2）若，求使不等式對一切恒成立的實數(shù)k的取值范圍；

（3）若函數(shù)的圖象過點，是否存在正數(shù)m（），使函數(shù)在上的最大值為0，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）結(jié)合函數(shù)奇偶性，利用可求；

（2）根據(jù)可得，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性把所求解的不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，然后進(jìn)行求解；

（3）根據(jù)函數(shù)圖象過點可得，利用換元法進(jìn)行求解.

（1）是定義域為R的奇函數(shù)，

，

；經(jīng)檢驗知符合題意.

（2）由（1）得，

得，又

，

由得，

為奇函數(shù)，

，

，為R上的增函數(shù)，

對一切恒成立，即對一切恒成立，

故解得.

（3）函數(shù)的圖象過點，

，假設(shè)存在正數(shù)m，且符合題意，

由得

，

設(shè)則，

，

，記，

∵函數(shù)在上的最大值為0，

∴（i）若時，則函數(shù)在有最小值為1，

由于對稱軸，

，不合題意.

（ii）若時，則函數(shù)在上恒成立，且最大值為1，最小值大于0，

①，

而此時，又，

故在無意義，

所以應(yīng)舍去;

②m無解，

綜上所述：故不存在正數(shù)m，使函數(shù)在上的最大值為0.