Question

已知定點A（0，-1），點B在圓F：x²+（y-1）²=16上運動，F為圓心，線段AB的垂直平分線交BF于P．
（I）求動點P的軌跡E的方程；若曲線Q：x²-2ax+y²+a²=1被軌跡E包圍著，求實數a的最小值．
（II）已知M（-2，0）、N（2，0），動點G在圓F內，且滿足|MG|•|NG|=|OG|²，求

MG

•

NG

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意得|PA|=|PB|，得到|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2，根據橢圓的定義可求得動點P的軌跡E的方程；根據橢圓的幾何性質（有界性），可求得實數a的最小值；
（II）設G（x，y），并代入|MG|•|NG|=|OG|²，得到關于x，y的一個方程，點G在圓F：x²+（y-1）²=16內，得到關于x，y的一個不等式，可求得y的取值范圍，把點G的坐標代入

MG

•

NG

中，利用不等式的基本性質分析即可求得結果．

解答：解：（I）由題意得|PA|=|PB|，
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2
∴P點軌跡是以A、F為焦點的橢圓．
設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
則2a=4，a=2，a²-b²=c²=1，故b²=3，
∴點p的軌跡方程為

y2

4

+

x2

3

=1
曲線Q：x²-2ax+y²+a²=1化為（x-a）²+y²=1，
則曲線Q是圓心在（a，0），半徑為1的圓．
而軌跡E：

y2

4

+

x2

3

=1為焦點在Y軸上的橢圓，短軸上的頂點為(-

3

，0)，(

3

，0)
結合它們的圖象知：若曲線Q被軌跡E包圍著，則-

3

+1≤a≤

3

-1
∴a的最小值為-

3

+1；
（II）設G（x，y），由|MG|•|NG|=|OG|²
得：

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x2+y2，
化簡得x²-y²=2，即x²=y²+2
而

MG

•

NG

=（x+2，y）•（x-2，y）=x²+y²-4=2（y²-1）．
∵點G在圓F內：x²+（y-1）²=16內，∴x²+（y-1）²＜16
又G滿足x²=y²+2
∴y²+2+（y-1）²＜16?

2-6 3

4

＜y＜

2+6 3

4

?0≤y²＜

14+3 3

2

，
∴-2≤2（y²-1）＜12+3

3

，
∴

MG

•

NG

的取值范圍為[-2，12+3

3

）．

點評：此題是個難題．考查橢圓的定義和幾何性質，以及點圓位置關系和向量的數量積的坐標運算，綜合性較強，特別是問題（II）的設置，轉化為求最值問題，增加題目的難度．