精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知函數f（x）是定義在R上的單調函數滿足f（-3）=2，，且對任意的實數a∈R有f（-a）+f（a）=0恒成立．
（Ⅰ）試判斷f（x）在R上的單調性，并說明理由；
（Ⅱ）解關于x的不等式f(
2-xx
)＜2．
分析：（I）根據函數奇偶性的定義，不難得到f（x）是定義在R上的奇函數，再根據已知條件函數是單調函數且f（-3）＞f（0），可得函數是R上的減函數．
（II）原不等式可化為：f(
2-x
x
)＜f(-3)，再由（I）的單調性可得
2-x
x
＞-3，最后根據分式不等式的解法即可得到原不等式的解集．
解答：解：（Ⅰ）結論：f（x）是R上的減函數．理由如下
∵對任意的實數a∈R有f（-a）+f（a）=0
∴f（-a）=-f（a）對任意的實數a∈R成立，可得函數f（x）是定義在R上的奇函數，
取x=0，得f（0）=0
∵f（x）在R上是單調函數，f（-3）=2＞0=f（0）
∴f（x）為R上的減函數．
（Ⅱ）由f（-3）=2，不等式f(
2-x
x
)＜2等價于f(
2-x
x
)＜f(-3)
又∵f（x）為R上的減函數，∴原不等式可化為：
2-x
x
＞-3
整理得：
2x+2
x
＞0，解之得：x＜-1或x＞0
∴不等式f(
2-x
x
)＜2的解集為（-∞，-1）∪（0，+∞）．
點評：本題給出抽象函數為奇函數且在E上為減函數，求關于x的不等式的解集，著重考查了函數單調性的奇偶性等知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）計算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）證明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=x+
a
x
的定義域為（0，+∞），且f（2）=2+
2
2
．設點P是函數圖象上的任意一點，過點P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．
（3）設O為坐標原點，求四邊形OMPN面積的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）圖象上的兩點，且x1+x2=1．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數列{an}的前n項和．求Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個相鄰函數的交點為A，B，若m變化時，AB的長度是一個定值，則AB的值是（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習冊答案