Question

若tanα+

1

tanα

=

10

3

，α∈（

π

4

，

π

2

），則sin（2α+

π

4

）的值為（　　）

• A、-

  2

  10

• B、

  2

  10

• C、

  5 2

  10

• D、

  7 2

  10

Answer 1

分析：把已知條件的等式兩邊都乘以tanα，得到關于tanα的方程，求出方程的解，根據(jù)α的范圍即可得到滿足題意tanα的值，然后把所求的式子利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系把分母中“1”化為正弦與余弦函數(shù)的平方和的形式，分子利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，然后給分子分母都除以cos²α，變?yōu)殛P于tanα的關系式，把求出的tanα的值代入即可求出值．

解答：解：由tanα+

1

tanα

=

10

3

，去分母得：（tanα-3）（3tanα-1）=0，
解得：tanα=3或tanα=

1

3

，
由α∈（

π

4

，

π

2

）得tanα＞1，故tanα=

1

3

舍去，
則sin（2α+

π

4

）=

2

2

×

sin2α+cos2α

1

=

2

2

×

2sinαcosα+cos2α-sin2α

cos2α+sin2α

=

2

2

×

2tanα+1-tan2α

1+tan2α

=-

2

10

．
故選A

點評：此題考查學生靈活運用兩角和的正弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關系化簡求值，靈活運用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，是一道綜合題．