Question

由動點P引圓x²+y²=10的兩條切線PA，PB，直線PA、PB的斜率分別為k₁、k₂．
（1）若k₁+k₂+k₁k₂=-1，求動點P的軌跡；
（2）若點P在x+y=m上，且PA⊥PB，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出點P的坐標，待定系數(shù)法給出切線的方程，與圓的方程聯(lián)立，消元得到關于k的一元二次方程，然后用根與系數(shù)的關系即可得到k₁+k₂與k₁k₂代入k₁+k₂+k₁k₂=-1即可得到點P的坐標滿足的軌跡方程．、
（2）點P（x₀、y₀）在x+y=m上，所以y₀=m-x₀．又PA⊥PB，所以，k₁k₂=-1由上題的結論知

y 2 0 -10

x 2 0 -10

=-1再將y₀=m-x₀代入即得關于m的方程，此方程有根，故可有判別式求出實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）設P（x₀、y₀），
則|x₀|≠

10

，且x₀²+y₀²≠10，切線l：y-y₀=k（x-x₀）．
由l與圓相切，得

|kx0-y0|

k2+1

=

10

．
化簡整理得（x₀²-10）k²-2x₀y₀k+y₀²-10=0．
由韋達定理及k₁+k₂+k₁k₂=-1，得

2x0y0

x 2 0 -10

+

y 2 0 -10

x 2 0 -10

=-1，化簡得x₀+y₀=±2

5

．
即P點的軌跡方程為x+y±2

5

=0且|x₀|≠

10

．即兩條直線上各去掉一個點
（2）因為，點P（x₀、y₀）在x+y=m上，所以y₀=m-x₀．又PA⊥PB，
所以，k₁k₂=-1，即

y 2 0 -10

x 2 0 -10

=-1，將y₀=m-x₀代入化簡得2x₀²-2mx₀+m²-20=0．
由△≥0，得-2

10

≤m≤2

10

．經檢驗，m的取值范圍為[-2

10

，2

10

]．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，求解第一問的關鍵是得到關于兩個斜率的一元二次方程，從而得到點P的坐標滿足的方程，第二問解題的關鍵是得到關于參數(shù)m的方程，通過所得的方程有解得到參數(shù)m的不等式解出其范圍，本題考查了轉化化歸的思想，做題時要注意此類思想的使用．