Question

已知函數(shù)在上單調(diào)遞減且滿足.

（1）求的取值范圍.

（2）設(shè)，求在上的最大值和最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在取得最小值，

在上取得最大值.

當(dāng)時(shí)， 在取得最大值，在時(shí)取得最小值.

當(dāng)時(shí)，由，得.

當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值，在時(shí)取得最大值.

當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最大值，在時(shí)取得最小值，

當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值；

當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值.

【解析】

試題分析：（1）注意到 ，

其導(dǎo)函數(shù)為

根據(jù)題意得到“對(duì)于任意.有”.所以結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論.

具體情況有，， ，.

（2）注意到，，

討論，，的情況.

而在時(shí)，要結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，具體地討論①若，即；

②若，即的不同情況.

易錯(cuò)點(diǎn)在于分類討論不全面.

試題解析：

（1）由得：

則 ，

依題意需對(duì)于任意.有.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)槎�次函�?shù)的圖像開(kāi)口向上，

而，所以需，即；

當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有，符合條件；

當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有，符合條件；

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041304423642305385/SYS201404130443488292293146_DA.files/image041.png">，不符合條件.

故的取值范圍為.

（2）因，，

當(dāng)時(shí)，，在取得最小值，

在上取得最大值.

當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有，在取得最大值，在時(shí)取得最小值.

當(dāng)時(shí)，由，得.

①若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在時(shí)取得最小值，在時(shí)取得最大值.

②若，即時(shí)，在時(shí)取得最大值，在時(shí)取得最小值，而，.則當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值；

當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值.

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，分類討論思想，數(shù)學(xué)式子的變形能力.