【題目】已知函數(shù) , .
(Ⅰ)當(dāng)a=2時,求f(x)在x∈[1,e2]時的最值(參考數(shù)據(jù):e2≈7.4);
(Ⅱ)若x∈(0,+∞),有f(x)+g(x)≤0恒成立,求實數(shù)a的值.
【答案】解:(Ⅰ)∵當(dāng)a=2時, ,
∴ ,x>0,
當(dāng)1<x<2時,f′(x)>0,得﹣1<x<2,當(dāng)2<x<e2時,f′(x)<0,
∴函數(shù)f(x)在[1,2]為增函數(shù),在[2,e2]為減函數(shù).
∴f(x)max=f(2)=2ln2.
.
(Ⅱ)令h(x)=f(x)+g(x)=alnx﹣x+1,則 ,
(i)當(dāng)a≤0時,h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),而h(1)=0,
∴h(x)≤0在區(qū)間x∈(0,+∞)上不可能恒成立,因此a≤0不滿足條件.
(ii)當(dāng)a>0時,h(x)在(0,a)上遞增,在(a,+∞)上遞減,
∴h(x)max=h(a)=alna﹣a+1.
∵h(yuǎn)(x)≤0在x∈(0,+∞)恒成立,∴h(x)max≤0.即alna﹣a+1≤0.
令g(a)=alna﹣a+1,(a>0),則g'(a)=lna,
∴g(a)在(0,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增,
∴g(a)min=g(1)=0,故a=1
【解析】(Ⅰ)當(dāng)a=2時,求出 ,x>0,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f(x)在x∈[1,e2]時的最值.(Ⅱ)令h(x)=f(x)+g(x)=alnx﹣x+1,則 ,當(dāng)a≤0時,不滿足條件;當(dāng)a>0時,h(x)max=h(a)=alna﹣a+1≤0,令g(a)=alna﹣a+1,(a>0),則g'(a)=lna,g(a)min=g(1)=0,由此能求出a.
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某教育機構(gòu)隨機抽查某校20個班級,調(diào)查各班關(guān)注漢字聽寫大賽的學(xué)生人數(shù),根據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖,以5為組距將數(shù)據(jù)分組成[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35),[35,40]時,所作的頻率分布直方圖如圖所示,則原始莖葉圖可能是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時,f(x)=2x(1﹣x),則f(﹣ )+f(1)=( )
A.﹣
B.﹣
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.
根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是( )
A. 月接待游客量逐月增加
B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D. 各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)矩形ABCD,以A、B為左右焦點,并且過C、D兩點的橢圓和雙曲線的離心率之積為( )
A.
B.2
C.1
D.條件不夠,不能確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=2x3﹣9x2+12x+1的單調(diào)減區(qū)間是( )
A.(1,2)
B.(2,+∞)
C.(﹣∞,1)
D.(﹣∞,1)和(2,+∞)
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【題目】已知函數(shù)f(x)= x3﹣4x+4,
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值.
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【題目】已知數(shù)列,,,具有性質(zhì);對任意,,與兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項,給出下列三個結(jié)論:
①數(shù)列,,,具有性質(zhì);
②若數(shù)列具有性質(zhì),則;
③若數(shù)列,,具有性質(zhì),則.
其中,正確結(jié)論的個數(shù)是( ).
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若存在實數(shù)a、b、c、d,滿足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),其中d>c>b>a>0,則abcd的取值范圍是( )
A.(16,21)
B.(16,24)
C.(17,21)
D.(18,24)
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