(本小題滿分14分)
如圖所示,已知圓
,
為定點,
為圓
上的動點,線段
的垂直平分線交
于點
,點
的軌跡為曲線E.
(Ⅰ)求曲線
的方程;
(Ⅱ)過點
作直線
交曲線
于
兩點,設(shè)線段
的中垂線交
軸于點
,求實數(shù)m的取值范圍.
(Ⅰ)
;(Ⅱ)
.
本試題主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運用,以及橢圓方程的求解的綜合運用。
(1)因為由題意知,
.
又
,
∴動點D的軌跡是以點
為焦點的橢圓
(2)根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程,對于斜率要分類討論是否存在,然后結(jié)合直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理和中點公式得到中垂線方程求解。
解:(Ⅰ)由題意知,
.
又
,
∴動點D的軌跡是以點
為焦點的橢圓,且橢圓的長軸長
,
焦距
.
,
∴曲線
的方程為
6分
(Ⅱ)①當(dāng)
的斜率不存在時,線段
的中垂線為
軸,
; 8分
②當(dāng)
的斜率存在時,設(shè)
的方程為
,代入
得:
,由
得,
10分
設(shè)
,則
,
,
,
∴線段
的中點為
,中垂線方程為
,12分
令
得
. 由
,易得
.
綜上可知,實數(shù)m的取值范圍是
. 14分
練習(xí)冊系列答案
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以
,
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已知圓M經(jīng)過直線
與圓
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,求圓M的方程.
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已知圓
的圓心在直線
上,且圓
與
軸相切,若圓
截直線
得弦長為
,求圓
的方程.
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圓心為點
,且過點
的圓的方程為
.
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若點
(2,-1)為圓
的弦AB的中點,則直線
的方程為
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已知圓系
(a≠1,a∈R),則該圓系恒過定點
.
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