Question

如圖，已知圓O：x²+y²=2交x軸于A、B兩點(diǎn)，P在圓O上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），過(guò)P作直線(xiàn)l₁，OS垂直于l₁交直線(xiàn)l₂：x=-3于點(diǎn)S．
（1）求證：“如果直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)T（-1，0），那么

OP

•

PS

=1”為真命題；
（2）寫(xiě)出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=2，當(dāng)x₀=-1時(shí)，求出S的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)

OP

•

PS

的解析式．當(dāng)x₀≠-1時(shí)，求出S的坐標(biāo)，
化簡(jiǎn)

OP

•

PS

的解析式．
（2）先寫(xiě)出逆命題，設(shè)S（-3，t），P（x₀，y₀）（y₀≠0），由

OP

•

PS

=1，及x₀²+y₀²=2，得出t=

3+3x0

y0

．
當(dāng)當(dāng)x₀=-1時(shí)，直線(xiàn)l₁的方程知過(guò)點(diǎn)（-1，0）；當(dāng)x₀≠-1時(shí)，由直線(xiàn)l₁的方程知過(guò)點(diǎn)（-1，0）．

解答：證明：（1）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），則x₀²+y₀²=2．當(dāng)x₀=-1時(shí)，
∵直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)T（-1，0），∴S（-3，0），即

PS

=(-3-x0，-y0)，
∴

OP

•

PS

=-3x0-x02-y0²=1．
當(dāng)x₀≠-1時(shí)，∵直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)T（-1，0），∴直線(xiàn)l₁的斜率k₁=

y0

x0+1

，
∴直線(xiàn)OS的斜率k=-

x0+1

y0

，其方程為 y=-

x0+1

y0

x，
∴S(-3，

3x0+3

y0

)，即

PS

=(-3-x0，

3x0+3

y0

-y0)．
∴

OP

•

PS

=-3x₀-x₀²+3x₀+3-y₀²=3-2=1．
故“如果直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)T（-1，0），那么

OP

•

PS

=1”為真命題．

（2）逆命題為：如果

OP

•

PS

=1，那么直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)T（-1，0）．逆命題也為真命題，以下給出證明：
設(shè)S（-3，t），P（x₀，y₀）（y₀≠0），則

PS

=(-3-x0，t-y0)，
∵

OP

•

PS

=1，∴-3x₀-x₀²+ty₀-y₀²=1，又x₀²+y₀²=2，
∴t=

3+3x0

y0

．當(dāng)x₀=-1時(shí)，直線(xiàn)l₁的方程為x=-1，顯然過(guò)點(diǎn)（-1，0）；
當(dāng)x₀≠-1時(shí)，直線(xiàn)OS的斜率k=

x0+1

-y0

，∴直線(xiàn)l₁的方程為y-y₀=

y0

x0+1

(x-x0)，令y=0，得x=-1，
∴直線(xiàn)l₁過(guò)定點(diǎn)（-1，0）．綜上，直線(xiàn)l₁恒過(guò)定點(diǎn)（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓相交的性質(zhì)，四種命題的真假關(guān)系，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算以及求兩直線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)．