Question

已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+

a

x

在[1，e]上的最小值為3，求a的值；
（3）若存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＞x₀²+

a

x0

，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，得x＜0時(shí)f（x）=-f（-x）=-ln（-x），結(jié)合f（0）=0即可求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求導(dǎo)數(shù)得h′（x）=

x-a

x2

，可得h′（x）=0的根為x=a．因此分a≤1、1＜a＜e和a≥e三種情況討論，分別得到函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，再由最小值3建立關(guān)于a的等式，解之即可得到實(shí)數(shù)a的值；
（3）由題意得f（x）＞x²+

a

x

在[1，+∞）上有解，變形整理得a＜xlnx-x³在[1，+∞）上有解．再利用導(dǎo)數(shù)工具加以研究，可得當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)g′（x）＜0恒成立，得g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，所以g（x）_max=g（1）=-1，由此即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（0）=0--------------------（1分）
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-f（-x）=-ln（-x）
綜上所述，函數(shù)f（x）的解析式是f（x）=

lnx     (x＞0) 0        (x=0) -ln(-x)        (x＜0)

--------------（3分）
（2）由題意得h（x）=lnx+

a

x

，∴h′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

由h′（x）=0得x=a
①當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增
∴h（x）_min=h（1）=a
∴a=3，但不符合a≤1，舍去---------------------（6分）
②當(dāng)1＜a＜e時(shí)，f（x）在[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，e]上單調(diào)遞增
∴h（x）_min=h（a）=a
∴a=3，但不符合1＜a＜e，舍去---------------------（8分）
③當(dāng)a≥e時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減
∴h（x）_min=h（e）=1+

a

e

，可得1+

a

e

=3，解之得a=2e，符合題意
綜上所述：當(dāng)a=2e時(shí)，h（x）=f（x）+

a

x

在[1，e]上的最小值為3-----------（10分）
（3）由題意：f（x）＞x²+

a

x

在[1，+∞）上有解
即a＜xlnx-x³在[1，+∞）上有解--------------------（12分）
設(shè)g（x）=xlnx-x³，其中x∈[1，+∞），可得g′（x）=lnx+1-3x²
設(shè)φ（x）=lnx+1-3x² （x∈[1，+∞）），則φ′（x）=

1

x

-6x
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)φ′（x）＜0恒成立，可得φ（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減
∴φ（x）≤φ（1）=-2，得φ（x）在[1，+∞）上恒為負(fù)數(shù)---------------------（14分）
∴當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)g′（x）＜0恒成立，得g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減
因此，g（x）_max=g（1）=-1
由此可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）．---------------------（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有對(duì)數(shù)的函數(shù)，研究函數(shù)的奇偶性并求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和不等式恒成立問(wèn)題等知識(shí)，屬于中檔題．