Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）若點(diǎn)M在線(xiàn)段EF上移動(dòng)，試問(wèn)是否存在點(diǎn)M，使得平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB∥CD且AD=DC，得∠DAC=∠DCA=∠CAB，得根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合題中的數(shù)據(jù)算出∠CAB=

1

2

∠DAB=30°，得△ABC中∠ACB=90°，從而AC⊥BC．最后根據(jù)平面ACEF⊥平面ABCD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理即可證出BC⊥平面ACFE；
（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC、BC、CF所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖．結(jié)合題中數(shù)據(jù)得到A、B的坐標(biāo)，設(shè)M（a，0，1）從而得出

AB

、

BM

的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法算出

m

=（1，

3

，

3

-a）是平面AMB的一個(gè)法向量，結(jié)合

n

=(1，0，0)是平面FCB的一個(gè)法向量．利用空間向量的夾角公式算出向量

m

、

n

的余弦之值，由平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°，建立關(guān)于a的方程并得到此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．由此可得不存在在點(diǎn)M，使得平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°．

解答：解：（1）∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，
∵梯形ABCD是等腰梯形，得∠DAB=∠ABC=60°，
∴∠CAB=

1

2

∠DAB=30°，得△ABC中，∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=90°，即AC⊥BC，（3分）
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC?平面平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE；（5分）
（2）由（1）知AC、BC、CF兩兩互相垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC、BC、CF所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸軸，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
∵Rt△ABC中，BC=1，∠ABC=60°，∴AC=BCtan60°=

3

，
可得A、B的坐標(biāo)分別為A（

3

，0，0），B（0，1，0），設(shè)M（a，0，1），則

AB

=(-

3

，1，0)，

BM

=(a，-1，1)，（7分）
設(shè)

m

=（x，y，z）是平面AMB的一個(gè)法向量，則

m • AB =- 3 x+y=0 m • BM =ax-y+z=0

（9分）
取x=1，得

m

=（1，

3

，

3

-a），（10分）
∵

n

=(1，0，0)是平面FCB的一個(gè)法向量，
∴若平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°，得
cos＜

m

，

n

＞=

1×1+ 3 ×0+( 3 -a)×0

1× 1+3+( 3 -a)2

=

2

2

（12分）
化簡(jiǎn)，得2+（

3

-a）²=0，顯然此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，（13分）
因此，線(xiàn)段EF上不存在點(diǎn)M使得平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊多面體，求證線(xiàn)面垂直并探索二面角的大小問(wèn)題．著重考查了線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和利用空間向量研究平面與平面所成角等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．