Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₅=7，a₉=-7．則下列四個(gè)命題中真命題是

（1）（2）（4）

．（填寫(xiě)序號(hào)）
（1）S₅＜S₇        （2）S₆＞S₈      （3）S₄=S₅      （4）S₅+S₇=S₆+S₈．

Answer 1

分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，由a₅=7，a₉=-7，可知{a_n}為遞減數(shù)列且求得a₇=0，從而可對(duì)（1）、（2）、（3）、（4）進(jìn)行判斷．

解答：解：∵{a_n}為等差數(shù)列，a₅=7，a₉=-7，設(shè)其公差為d，則d＜0，
∵a₇是a₅與a₉的等差中項(xiàng)，
∴a₇=0，
∴a₁＞a₂＞…＞a₆＞a₇=0＞a₈＞a₉＞…
∴（1）S₅＜S₆=S₇，即（1）正確；
（2）S₆=S₇＞S₈，即（2）正確；
又S₄＜S₅，故（3））S₄=S₅錯(cuò)誤；
對(duì)于（4），∵a₇=0，
∴S₆=S₇，①
由題意可知，等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n是關(guān)于n的開(kāi)口方向向下的二次函數(shù)，且其對(duì)稱(chēng)軸為n=

6+7

2

=

13

2

，
又點(diǎn)（5，S₅）與點(diǎn)（8，S₈）關(guān)于直線n=

13

2

對(duì)稱(chēng)，
∴S₅=S₈．②
由①②知，S₅+S₇=S₆+S₈，即（4）正確．
故答案為：（1）（2）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查等差數(shù)列的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．