Question

如圖，圓柱OO₁內有一個三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面為圓柱底面的內接三角形，且AB是圓O的直徑．
（1）證明：O₁A∥平面B₁OC；
（2）證明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（3）設AB=AA₁=2，在圓柱OO₁內隨機選取一點，記該點取自于三棱柱ABC-A₁B₁C₁內的概率為P，當點C在圓周上運動時，求P的最大值．

Answer 1

分析：（1）要證O₁A∥平面B₁OC，只要證明O₁A平行于平面B₁OC內的一條直線即可，通過證明四邊形AOB₁O₁為平行四邊形即可得到證明；
（2）要證平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁，只要證明其中一個面經過另一個面的一條垂線即可，由三棱柱的側棱垂直于底面，結合直徑所對的圓周角為直角即可完成；
（3）測度比為體積比，圓柱的體積一定，只要求出C在底面圓周上運動時和時保證棱柱的體積最大即可，并求出最大體積，則答案可求．

解答：解：（1）如圖，
連結O₁A，∵O₁B₁∥OA且O₁B₁=OA，
∴四邊形AOB₁O₁為平行四邊形，∴O₁A∥OB₁，
又OB₁?平面B₁OC，∴O₁A∥平面B₁OC；
（2）∵A₁A⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A₁A⊥BC，∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC．
又AC∩A₁A=A，∴BC⊥平面A₁ACC₁，而BC?平面B₁BCC₁，
所以平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（3）設圓柱的底面半徑為r，則AB=AA₁=2r，
故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V1=

1

2

AC•BC•2r=AC•BC•r
設∠BAC=α（0°＜α＜90°），則AC=ABcosα=2rcosα，BC=ABsinα=2rsinα，
由于AC•BC=4r²sinαcosα=2r²sin2α≤2r²，
當且僅當sin2α=1，即α=45°時等號成立，故V1≤2r3
而圓柱的體積V=πr²•2r=2πr³，故p=

V1

V 2

≤

2r3

2πr3

=

1

π

，
當且僅當sin2α=1即α=45°時等號成立．
∴P的最大值等于

1

π

．

點評：本題考查了直線與平面平行的判斷，考查了平面與平面垂直的判斷，訓練了利用體積比求幾何概型的概率，考查了學生的空間想象能力和思維能力，考查了計算能力，是中高檔題．