Question

已知，g（x）=e^x-e^2-x+f（x），
（1）若f（x）在處取得極值，試求c的值和f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）如圖所示，若函數(shù)y=f（x）的圖象在[a，b]連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈（a，b），使得，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)y=g（x）圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于2e-4．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求f′（x）由，求得c，再用f′（x）＞0求得增區(qū)間．
（2）先化簡g（x）=e^x-e^2-x+f（x）═，則g′（x）=由猜想知對于函數(shù)y=g（x）圖象上任意兩點(diǎn)A、B，在A、B之間一定存在一點(diǎn)C（c，g′（c）），有g(shù)′（x）≥2e-4．
解答：解：（1）f′（x）=2x²-4x+c，（1分）
依題意，有，即．（2分）
∴，f′（x）=2x²-4x-2．
令f′（x）＞0，得或，（5分）
從而f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：及；（6分）
（2）；g（x）=e^x-e^2-x+f（x）═，（7分）
g′（x）=e^x+e^2-x+2x²-4x-2（9分）=（12分）
由（2）知，對于函數(shù)y=g（x）圖象上任意兩點(diǎn)A、B，在A、B之間一定存在一點(diǎn)C（c，g′（c）），使得g′（c）=K_AB，又g′（x）≥2e-4，故有K_AB=g′（c）≥2e-4，證畢．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)問題一是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性二是考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義．