Question

如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個頂點(diǎn)上按逆時針方向前進(jìn)．現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻、每個面上標(biāo)有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數(shù)字．質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，規(guī)則如下：當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由A到B)；當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步(如由A到C)，當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步(如由A到D)．在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止．
(1)求質(zhì)點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率；
(2)在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中，用隨機(jī)變量ξ表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

(1) P＝P₂＋P₃＋P₄＝＋＋＝.    
(2) Eξ＝2×＋3×＋4×＝. 

（1）由古典概型概率公式得投擲一次正方體玩具，每個數(shù)字在上底面的概率為P₁＝＝.再分析質(zhì)點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)共有三種情況，投擲兩次質(zhì)點(diǎn)P返回到A點(diǎn)，有(1,3)、(3,1)、(2,2)三種結(jié)果；投擲三次質(zhì)點(diǎn)P返回到A點(diǎn)，有 (1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三種結(jié)果；投擲四次質(zhì)點(diǎn)P返回到A點(diǎn)，只有 (1,1,1,1)．根據(jù)相互獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解；
（2）由（1）得隨機(jī)變量ξ的值為2,3,4，分別求出對應(yīng)的概率，根據(jù)期望公式計(jì)算得Eξ
(1)投擲一次正方體玩具，每個數(shù)字在上底面出現(xiàn)都是等可能的，其概率為P₁＝＝.
只投擲一次不可能返回到A點(diǎn)；若投擲兩次質(zhì)點(diǎn)P就恰好能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的兩個數(shù)字應(yīng)依次為：(1,3)、(3,1)、(2,2)三種結(jié)果，其概率為P₂＝()²×3＝；
若投擲三次質(zhì)點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的三個數(shù)字應(yīng)依次為：(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三種結(jié)果，其概率為P₃＝()³×3＝；
若投擲四次質(zhì)點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的四個數(shù)字應(yīng)依次為：(1,1,1,1)．其概率為P₄＝()⁴＝.
所以，質(zhì)點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率為：P＝P₂＋P₃＋P₄＝＋＋＝.      6分
(2)由(1)知，質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果共有以上問題中的7種情況，且ξ的可能取值為2,3,4，
則P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，
所以，Eξ＝2×＋3×＋4×＝.