Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d是R上的奇函數(shù)，且在x=1時取得極小值-

2

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）對任意x₁，x₂∈[-1，1]，證明：f（x₁）-f（x₂）≤

4

3

．

Answer 1

（1）可知b=d=0，（2分）
所以f′（x）=3ax²+c
可知

f′1=0 f1=- 2 3

⇒

3a+c=0 a+c=- 2 3

⇒

a= 1 3 c=-1

，
經(jīng)檢驗知：f（x）=

1

3

x³-x（4分）
（2）即證f（x）_max-f（x）_min≤

4

3

（6分）
因為f′（x）=x²-1，所以x∈[-1，1]時f′（x）≤0，從而函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，
所以f（x）_max=f（-1）=

2

3

，f（x）_min=f（1）=-

2

3

，
所以f（x）_max-f（x）_min≤

4

3

，
從而對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有f（x₁）-f（x₂）≤

4

3

，（10分）