Question

定義在R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=kx+b（k，b為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則稱(chēng)g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)“承托函數(shù)”．現(xiàn)有如下命題：
①g（x）=2x為函數(shù)f（x）=2^x的一個(gè)承托函數(shù)；
②若g（x）=kx-1為函數(shù)f（x）=xlnx的一個(gè)承托函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1，+∞）；
③定義域和值域都是R的函數(shù)f（x）不存在承托函數(shù)；
④對(duì)給定的函數(shù)f（x），其承托函數(shù)可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)．
其中正確的命題是

④

．

Answer 1

分析：①舉反例x=

3

2

時(shí)，有f（x）＜g（x），故錯(cuò)誤；②若g（x）=kx-1為函數(shù)f（x）=xlnx的一個(gè)承托函數(shù)，則xlnx≥kx-1對(duì)一切正實(shí)數(shù)x都成立，即k≤lnx+

1

x

，故只需求m（x）=lnx+

1

x

的最小值，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)m（x）的最小值為1，可知正確；③舉反例f（x）=2x+3存在一個(gè)承托函數(shù)y=2x+1，錯(cuò)誤；④舉例f（x）=sinx，y=tanx，y=lgx，可說(shuō)明結(jié)論正確．

解答：解：選項(xiàng)①，當(dāng)x=

3

2

時(shí)，f（

3

2

）=2

3

2

=

8

，g（

3

2

）=3=

9

，有f（x）＜g（x），
故g（x）=2x不是函數(shù)f（x）=2^x的一個(gè)承托函數(shù)，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)②若g（x）=kx-1為函數(shù)f（x）=xlnx的一個(gè)承托函數(shù)，
則xlnx≥kx-1對(duì)一切正實(shí)數(shù)x都成立，即k≤lnx+

1

x

，
只需求m（x）=lnx+

1

x

的最小值，求導(dǎo)數(shù)可得m′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，令

x-1

x2

＞0可得x＞1，即函數(shù)m（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
故m（x）的最小值為m（1）=1，故可得k≤1，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，1]，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)③如f（x）=2x+3存在一個(gè)承托函數(shù)y=2x+1，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)④若f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1），就是它的一個(gè)承托函數(shù)，且有無(wú)數(shù)個(gè)，再如y=tanx，y=lgx就沒(méi)有承托函數(shù)，故正確；
故答案為：④

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及函數(shù)的應(yīng)用及新定義，屬基礎(chǔ)題．